Rappresentazione dell’insieme di integrazione
L’insieme di integrazione è rappresentato da un cono e due sfere concentriche centrate nell’origine degli assi. Un insieme di questo tipo si rappresenta molto bene attraverso le coordinate sferiche e ora vedremo come fare .
Passaggio in coordinate sferiche
\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,0\le z\le 1\,\,,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}},\,\,\frac{1}{4}-{{z}^{2}}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1-{{z}^{2}}\,\,\, \right\}\)
Come prima cosa, riscrivere l’insieme di integrazione utilizzando le coorinate sferiche, rappresentate dalle seguenti relazioni:
\(\left\{ \begin{align} & x=\rho \cos \theta \sin \phi \\ & y=\rho \sin \theta \sin \phi \\ & z=\rho \cos \phi \\\end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(0\le \theta \le 2\pi\) , \(0\le \phi \le \pi \), \(|\det J|={{\rho }^{2}}\sin \phi \)
Relazioni utili: \(\sin \phi \ge 0\) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\rho }^{2}}\) , \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \)
A questo punto riscriviamo l’insieme in coordinate sferiche. L’insieme A è descritto tramite due relazioni. La prima relazione \(\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\) rappresenta geometricamente il volume compreso tra una sfera di raggio \({{R}_{1}}=\frac{1}{2}\) e una di raggio \({{R}_{2}}=1\) entrambe centrate nell’origine degli assi. La relazione in coordinate sferiche diventa:
\(\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \(\,\frac{1}{4}\le {{\rho }^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow\) \(\,\frac{1}{2}\le \rho \le 1\)
La seconda relazione\(\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}}\) rappresenta la parte interna di un cono con vertice nell’origine degli assi ed asse di simmetria coincidente con l’asse z. Passando in coordinate sferiche si ha:
\(\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}}\) \(\Rightarrow \) \({{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \le 5{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\phi \) \(\Rightarrow \) \(\frac{{{\sin }^{2}}\phi }{{{\cos }^{2}}\phi }\le 5\) \(\Rightarrow \) \(\frac{1-{{\cos }^{2}}\phi }{{{\cos }^{2}}\phi }\le 5\) \(\Rightarrow \) \(\frac{1-{{\cos }^{2}}\phi }{{{\cos }^{2}}\phi }\le 5\) \(\Rightarrow \)
\(6{{\cos }^{2}}\phi \ge 1\) \(\Rightarrow \) \(0\le \phi \le {{\cos }^{-1}}\frac{1}{\sqrt{6}}\)
\({A}’=\left\{ \left( \rho ,\theta ,\phi \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le {{\cos }^{-1}}\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{1}{2}\le \rho \le 1 \right\}\)
Facciamo il cambio di coordinate nell’integrale triplo, ricordando di moltiplicare la funzione integranda per il valore assoluto del determinante della matrice Jacobiana:
\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{{{z}^{3}}}dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\frac{1}{{{\rho }^{3}}{{\cos }^{3}}\phi }{{\rho }^{2}}\sin \phi d\rho d\theta d\phi }=\)
\(\int\limits_{\rho =1/2}^{1}{\frac{1}{\rho }\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\phi =0}^{{{\cos }^{-1}}\left( 1/\sqrt{6} \right)}{{{\cos }^{-3}}\phi \sin \phi \cdot d\phi }d\theta }d\rho }\)
\(\int\limits_{\rho =1/2}^{1}{\frac{1}{\rho }d\rho }\cdot \int\limits_{\phi =0}^{{{\cos }^{-1}}\left( 1/\sqrt{6} \right)}{{{\cos }^{-3}}\phi \sin \phi \cdot d\phi }\,\cdot \int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{d\theta }\)
Calcoliamo le tre primitive che risultano tutte immediate e calcoliamo infine il risultato dell’integrale.
\(\left[ \frac{1}{2}{{\left( \cos \phi \right)}^{-2}} \right]_{0}^{{{\cos }^{-1}}\left( 1/\sqrt{6} \right)}\cdot \left[ \theta \right]_{0}^{2\pi }\,\cdot \left[ \ln \rho \right]_{1/2}^{1}=\frac{6-1}{2}\cdot 2\pi \cdot \ln 2=5\cdot \pi \cdot \ln 2\)
Siamo quindi arrivati alla soluzione dell’integrale che vale \(5\pi \log 2\) .
Abbiamo concluso l’ Integrale triplo svolto con coordinate sferiche. Vale la pena osservare che la soluzione di questo integrale è molto più sbrigativa ed elegante in coordinate sferiche piuttosto che in coordinate polari.