Insiemi di numeri

Insiemi di numeri

Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica 1. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:

\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi.
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali.
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\) insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.

\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.

Tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).

I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\) può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).

Dimostrazione che radice quadrata di 2 è un numero irrazionale

\(\sqrt{2}=\frac{m}{n}\) . Se \(m\) e \(n\) sono primi tra loro, lo sarebbero anche \(\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=\frac{m}{n}\cdot \frac{m}{n}\) visto che nella frazione ottenuta non si può semplificare niente, e quindi anche \({{m}^{2}}\) e \({{n}^{2}}\) dovrebbero essere primi fra loro. Poiché però

\({{\left( \sqrt{2} \right)}^{2}}={{\left( \frac{m}{n} \right)}^{2}}\,\Rightarrow \,\,\,\,\)\(\frac{{{m}^{2}}}{{{n}^{2}}}=2\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{m}^{2}}=2{{n}^{2}}\), si avrebbe che \({{m}^{2}}\) è il doppio di \({{n}^{2}}\)andando a negare che sono primi tra loro e quindi si arriva alla contraddizione. Quindi è assurdo negare la tesi e quindi la tesi è vera!

Quindi come abbiamo visto non tutti i numeri possono essere scritti come frazioni. A questo insieme appartengono tutti i numeri che prendono il nome di numeri irrazionali e tra questi ricordiamo il pi greco \(\pi =3.14\), il numero di Nepero \(e=2.71828\).

L’unione dei numeri razionali e irrazionali forma l’insieme dei numeri reali.
Numerabilità degli insiemi
Un insieme è detto numerabile se è possibile creare una relazione tra i numeri naturali e gli elementi in esso contenuti.

Numerabilità degli insiemi di numeri

Gli insiemi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) sono numerabili, mentre l’insieme \(\mathbb{R}\) non è numerabile.
Vediamo un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri relativi:

Vediamo invece un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\) con un esempio grafico: