PROBLEMA 1 – SOLUZIONE
Assegnate due costanti reali a e b (con \(a>0\)), si consideri la funzione 𝑞(𝑡) così definita:
\[q(t)=at\cdot {{e}^{bt}}\]
1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione 𝑞 è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione 𝑞(𝑡), in un piano cartesiano di coordinate (𝑡,𝑦), ha un massimo nel punto \(B\left( 2,\frac{8}{e} \right)\)
Soluzione prima domanda
Osserviamo subito che la funzione è definita su tutto l’asse dei reali (il dominio è tutto \(\mathbb{R}\)).
Per individuare eventuali punti di massimo e minimo della funzione, bisogna studiare il segno della derivata prima:
\({q}'(t)=(a+abt){{e}^{bt}}=a\left( 1+bt \right){{e}^{bt}}>0\)
Considerato che a>0 e che l’esponenziale è una funzione sempre positiva, il segno della disequazione dipende soltanto da 1+bt.
Caso b>0: Si ha che \(1+bt>0\) \(Rightarrow \) \(t>-\frac{1}{b}\)
In questo caso la funzione presenta un minimo in corrispondenza di t=-1/b.
Caso b<0: Si ha che \(1+bt>0\) \(\Rightarrow\) \(t<-\frac{1}{b}\)
In questo caso la funzione presenta un massimo in corrispondenza di t=-1/b.
Affinché la funzione presenti un massimo in B, si deve avere che b<0, \(t=-\frac{1}{b}=2\) \(\Rightarrow \) \(b=-\frac{1}{2}\).
In corrispondenza di t=2 inoltre la funzione deve valere \(\frac{8}{e}\):
\(q(2)=2a\cdot {{e}^{2b}}=2a\cdot {{e}^{-1}}=\frac{2a}{e}=\frac{8}{e}\) \(\Rightarrow \) \(a=4\)
2. Assumendo, d’ora in avanti, di avere 𝑎=4 e 𝑏=−1/2, studiare la funzione
\[q(t)=4t\cdot {{e}^{-\frac{t}{2}}}\]
verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto \(F=\left( 4,\frac{16}{{{e}^{2}}} \right)\).
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F.
Soluzione seconda domanda
La funzione è definita su tutto\(\mathbb{R}\) ed inoltre ha un punto di massimo in \(B\left( 2,\frac{8}{e} \right)\).
È crescente per t<2, e risulta decrescente per t>2.
Studio il segno della funzione:
\(q(t)>0\) \(\Rightarrow \) \(t>0\).
Procediamo con il calcolo dei limiti:
\(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4t}{{{e}^{\frac{t}{2}}}}=\frac{\infty }{\infty }=0\) (si tratta di una forma indeterminata, risolvibile considerando che il denominatore tende ad infinito come un esponenziale).
\(\underset{t\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{4t}{{{e}^{\frac{t}{2}}}}=\frac{-\infty }{{{0}^{+}}}=-\infty \)
Per concludere passiamo allo studio del segno della derivata seconda ed individuiamo la presenza di eventuali punti di flesso:
\({q}”(t)=\left( -4+t \right)\cdot {{e}^{-\frac{t}{2}}}>0\) \(\Rightarrow \) \(t>4\)
Quindi la funzione è convessa per t>4 e concava per t<4, presenta inoltre un punto di flesso in corrispondenza di t=4, si ha:
\(q(4)=16\cdot {{e}^{-2}}\) \(\Rightarrow \) \(F=\left( 4,\frac{16}{{{e}^{2}}} \right)\)
La retta tangente nel punto F ha equazione:
\(y={q}’\left( 4 \right)\left( t-4 \right)+\frac{16}{{{e}^{2}}}\), dove \({q}’\left( 4 \right)=-\frac{4}{{{e}^{2}}}\)
3. Supponendo che la funzione 𝑞(𝑡) rappresenti, per 𝑡≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti 𝑎 e 𝑏 sopra indicate. Sempre assumendo \(𝑎=4\) e \(𝑏=-1/2\), esprimere l’intensità di corrente 𝑖(𝑡) che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.
Soluzione terza domanda
Le costanti a e b con le relative unità di misura sono: \(a=4\,C\) , \(b=-\frac{1}{2}{{s}^{-1}}\).
La corrente elettrica i(t) è la derivata rispetto al tempo della carica che fluisce attraverso la sezione del conduttore.
\(i\left( t \right)={q}'(t)=4\left( 1-\frac{1}{2}t \right)\cdot {{e}^{-\frac{1}{2}t}}\)
Per il calcolo delle correnti massime e minime, si procede allo studio del segno della derivata prima, che però coincide con lo studio del segno della derivata seconda di q(t).
\({i}'(t)={q}”\left( t \right)\) \(\Rightarrow\) \(t<4\).
L’intensità della corrente vale \(i\left( 0 \right)=4\,A={{i}_{\max }}\) all’istante iniziale, poi diminuisce fino a raggiungere il suo picco minimo all’istante t=4s, \(i\left( 4 \right)=-\frac{4}{{{e}^{2}}}\,A={{i}_{\min }}\), per poi risalire verso un asintoto orizzontale e stabilizzarsi al valore limite:
\(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,i(t)=0\)
4. Indicando, per \({{t}_{0}}\ge 0\), con \(Q\left( {{t}_{0}} \right)\) la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo \(\left[ 0,{{t}_{0}} \right]\), determinare a quale valore tende \(Q\left( {{t}_{0}} \right)\) per \({{t}_{0}}\to +\infty \) .
Supponendo che la resistenza del conduttore sia \(R=3\Omega \) , scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo \(\left[ 0,{{t}_{0}} \right]\).
Soluzione quarta domanda
La carica che attraversa il conduttore nell’intervallo \(\left[ 0,{{t}_{0}} \right]\) è data dall’integrale:
\(Q\left( {{t}_{0}} \right)=\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{i(t)dt}=\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{{q}'(t)dt}=\left[ q(t) \right]_{0}^{{{t}_{0}}}=q\left( {{t}_{0}} \right)\)
Per \({{t}_{0}}\to \infty \) si ha che \(\underset{{{t}_{0}}\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,Q\left( {{t}_{0}} \right)=0\)
Per quanto riguarda invece l’energia dissipata attraverso la resistenza per effetto Joule si ha:
\(W=\underset{{{t}_{0}}\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{R{{\left[ i(t) \right]}^{2}}dt}=\underset{{{t}_{0}}\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,16R\int\limits_{0}^{{{t}_{0}}}{{{\left( 1-\frac{1}{2}t \right)}^{2}}\cdot {{e}^{-t}}dt}\)
Soluzione Problema 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 28 febbraio 2019