Soluzione Quesito 1 – Simulazione Seconda prova scientifica 28 frebbraio 2019
Determinare i valori di a e b in modo che la funzione \(g:\mathbb{R}-\left\{ 3 \right\}\to \mathbb{R}\)
\(g\left( x \right)=\left\{ \begin{matrix} 3-a\ {{x}^{2}} & \ \ \ \text{per}\ x\le 1 \\ \ & \ \\ \frac{b}{x-3} & \ \ \ \text{per}\ x>1 \\\end{matrix} \right.\)
sia derivabile in tutto il suo dominio. Tracciare i grafici delle funzioni g e g’.
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Soluzione
Perché la funzione sia derivabile, deve essere innanzi tutto continua, quindi come prima cosa imponiamo la continuità della funzione g(x).
\(\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{b}{x-3}=-\frac{b}{2}\)
\(\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,g(x)=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,3-a\ {{x}^{2}}=3-a=g(1)\)
Per la continuità il limite destro e sinistro devono entrambi coincidere con il valore della funzione nel punto di ascissa x=1, quindi \(-\frac{b}{2}=3-a\) \(\Rightarrow \) \(a=3+\frac{b}{2}\)
A questo punto imponiamo che il limite del rapporto incrementale esiste ed è finito.
\(\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}=m\in \mathbb{R}\) \(\Rightarrow \) \(m=\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}=\) \(\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}\)
Calcoliamo il limite destro:
\(\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}=\) \(\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{b}{-2+\Delta x}+\frac{b}{2}}{\Delta x}=\) \(\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{b\Delta x}{\Delta x\left( -2+\Delta x \right)2}=\) \(\underset{\Delta x\to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{b}{\left( -2+\Delta x \right)2}=-\frac{b}{4}\)
Calcoliamo anche il limite sinistro:
\(\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{g(1+\Delta x)-g(1)}{\Delta x}=\) \(\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{3-a\ {{(1+\Delta x)}^{2}}-3+a}{\Delta x}=\) \(\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,a\left[ \frac{-\ {{(1+\Delta x)}^{2}}+1}{\Delta x} \right]=\) \(-a\underset{\Delta x\to {{0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\ {{(1+\Delta x)}^{2}}-1}{\Delta x} \right]=-2a\)
A questo punto uguagliamo limite destro e sinistro e otteniamo una seconda condizione da mettere a sistema con la prima: \(\Rightarrow \) \(b=8a\)
Per concludere otteniamo il sistema con la condizione di continuità (condizione necessaria alla derivabilità) e dell’esistenza finita del rapporto incrementale (condizione sufficiente alla derivabilità)
\(\left\{ \begin{align} & a=3+\frac{b}{2} \\ & b=8a \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & a=-1 \\ & b=-8 \\\end{align} \right.\)
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Soluzione Problema 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 28 febbraio 2019
Soluzione quesito 2 – simulazione seconda prova maturità scientifica 28 febbraio 2019