Soluzione quesito 2

Soluzione Quesito 2 – Simulazione Seconda prova scientifica 28 febbraio 2019

Sia \(\mathcal{R}\) la regione piana compresa tra l’asse  e la curva di equazione \(y=2{{e}^{1-|x|}}\). Provare che, tra i rettangoli inscritti in \(\mathcal{R}\) e aventi un lato sull’asse x, quello di area massima ha perimetro minimo ed è un quadrato.

 

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Soluzione

La funzione \(y=2{{e}^{1-|x|}}\) è una funzione pari.

Per x>0 possiamo togliere il valore assoluto e vale \(y=2{{e}^{1-x}}=2e\cdot {{e}^{-x}}\) che coincide con il grafico di \({{e}^{-x}}\) moltiplicato per una costante.

Quindi per x>0 costruiamo un grafico che va come \({{e}^{-x}}\), mentre per x<0 specchiamo il grafico rispetto all’asse delle y e così possiamo rappresentare graficamente un generico rettangolo \(\mathcal{R}\) che rispetta le condizioni imposte dal quesito.

Grafico del rettangolo inscritto nel grafico della funzione

Il rettangolo \(\mathcal{R}\) ha base \(b=2x\), con \(x>0\) e altezza \(h=2e\cdot {{e}^{-x}}\), da cui si ottiene che la sua area vale \(A(x)=b\cdot h=4ex\cdot {{e}^{-x}}\)

L’area massima si ottiene cercando il massimo valore della funzione A(x), ovvero studiando il segno della derivata prima della funzione:

\({A}'(x)=4e\left( {{e}^{-x}}-x\cdot {{e}^{-x}} \right)>0\) \(\Rightarrow \) \(x<1\)

Il massimo dell’area si ottiene quando x=1 e in corrispondenza di questo punto si ha che la base vale \(b=h=2\), quindi si tratta di un quadrato di lato 2.

Passiamo ora a ragionare sul perimetro: \(f(x)=2b+2h=4x+4e\cdot {{e}^{-x}}\), con x>0. Sudiamo il segno della derivata della funzione perimetro: \({f}'(x)=4-4e\cdot {{e}^{-x}}>0\) \(\Rightarrow \) \(x>1\)

Il minimo per la funzione perimetro si ha in corrispondenza di x=1, e si ottiene che corrisponde con lo stesso quadrato che ha l’area massima.

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Soluzione quesito 1  – simulazione seconda prova maturità scientifica 28 febbraio 2019

Soluzione quesito 3  – simulazione seconda prova maturità scientifica 28 febbraio 2019

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali

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