Soluzione Quesito 2 – Simulazione Seconda prova scientifica 28 febbraio 2019
Sia \(\mathcal{R}\) la regione piana compresa tra l’asse e la curva di equazione \(y=2{{e}^{1-|x|}}\). Provare che, tra i rettangoli inscritti in \(\mathcal{R}\) e aventi un lato sull’asse x, quello di area massima ha perimetro minimo ed è un quadrato.
Continua a leggere la soluzione del quesito 2 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 28 febbraio 2019 – MIUR
Soluzione
La funzione \(y=2{{e}^{1-|x|}}\) è una funzione pari.
Per x>0 possiamo togliere il valore assoluto e vale \(y=2{{e}^{1-x}}=2e\cdot {{e}^{-x}}\) che coincide con il grafico di \({{e}^{-x}}\) moltiplicato per una costante.
Quindi per x>0 costruiamo un grafico che va come \({{e}^{-x}}\), mentre per x<0 specchiamo il grafico rispetto all’asse delle y e così possiamo rappresentare graficamente un generico rettangolo \(\mathcal{R}\) che rispetta le condizioni imposte dal quesito.
Il rettangolo \(\mathcal{R}\) ha base \(b=2x\), con \(x>0\) e altezza \(h=2e\cdot {{e}^{-x}}\), da cui si ottiene che la sua area vale \(A(x)=b\cdot h=4ex\cdot {{e}^{-x}}\)
L’area massima si ottiene cercando il massimo valore della funzione A(x), ovvero studiando il segno della derivata prima della funzione:
\({A}'(x)=4e\left( {{e}^{-x}}-x\cdot {{e}^{-x}} \right)>0\) \(\Rightarrow \) \(x<1\)
Il massimo dell’area si ottiene quando x=1 e in corrispondenza di questo punto si ha che la base vale \(b=h=2\), quindi si tratta di un quadrato di lato 2.
Passiamo ora a ragionare sul perimetro: \(f(x)=2b+2h=4x+4e\cdot {{e}^{-x}}\), con x>0. Sudiamo il segno della derivata della funzione perimetro: \({f}'(x)=4-4e\cdot {{e}^{-x}}>0\) \(\Rightarrow \) \(x>1\)
Il minimo per la funzione perimetro si ha in corrispondenza di x=1, e si ottiene che corrisponde con lo stesso quadrato che ha l’area massima.
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