Soluzione Quesito 4 – Simulazione Seconda prova scientifica 2 aprile 2019
Scrivere, giustificando la scelta effettuata, una funzione razionale \(y=\frac{s(x)}{t(x)}\) , dove s(x) e t(x) sono polinomi, tale che il grafico della funzione:
- incontri l’asse nei punti di ascissa -1 e 2 e sia ad esso tangente in quest’ultimo punto;
- abbia asintoti verticali di equazioni x=-3 e x=1 ;
- passi per il punto P(7,10) .
Rappresentare, qualitativamente, il grafico della funzione trovata.
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Soluzione
Il numeratore deve essere divisibile per (x+1) e per (x-2)2 in maniera tale che s(x) e quindi y si annulli in corrispondenza dei punti di ascissa -1 e 2, ed in particolare risulti tangente al punto A(2,0). La condizione di tangenza si ottiene imponendo che il fattore (x-2) abbia molteplicità almeno pari a 2.
Il denominatore deve essere divisibile per (x+3) e per (x-1) in maniera tale che t(x) si annulli in corrispondenza dei punti di ascissa -3 e 1.
A questo punto bisogna rispettare la terza condizione ovvero che la funzione passi per il punto P(7,10).
Scegliamo una funzione nella forma \(y=k\frac{(x+1){{(x-2)}^{2}}}{(x+3)(x-1)}\) e andiamo ad imporre la terza condizione per determinare il valore di k.
\(10=k\frac{(7+1){{(7-2)}^{2}}}{(7+3)(7-1)}=\frac{10}{3}k\) \(\Rightarrow\) \(k=3\)
Quindi una possibile soluzione della funzione cercata è \(y=3\cdot \frac{(x+1){{(x-2)}^{2}}}{(x+3)(x-1)}\)
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