Soluzione Quesito 5 – Simulazione Seconda prova scientifica 28 febbraio 2019
Si consideri la superficie sferica di equazione \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+6z=0\).
- Dopo aver determinato le coordinate del centro e la misura del raggio, verificare che il piano di equazione π: \(3x-2y+6z+1=0\) e la superficie S sono secanti.
- Determinare il raggio della circonferenza ottenuta intersecando π e S .
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Soluzione
Il centro e il raggio si ottengono mediante il completamento dei quadrati:
\(\left( {{x}^{2}}-2x+1 \right)+{{y}^{2}}+\left( {{z}^{2}}+6z+9 \right)=1+9\)
In questo modo l’equazione viene riscritta nella forma
\({{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}+{{\left( z+3 \right)}^{2}}=10\)
E si deduce immediatamente che il centro della sfera è \(C(1,0,-3)\) e il raggio vale \(R=\sqrt{10}\)
A questo punto calcolo la distanza tra il piano e il centro della sfera:
\(d=\frac{\left| 3\cdot 1-2\cdot 0-3\cdot 6+1 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{2}^{2}}+{{6}^{2}}}}=2\)
Si ha che d<R e quindi la sfera e il piano si intersecano.
Il raggio della circonferenza può essere calcolato con il teorema di Pitagora e vale:
\(r=\sqrt{{{R}^{2}}-{{d}^{2}}}=\sqrt{6}\)
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