Soluzione quesito 7

Soluzione Quesito 7 – Simulazione Seconda prova scientifica 28 febbraio 2019

Una sfera di massa \(m\) urta centralmente a velocità \(v\) una seconda sfera, avente massa \(3m\) ed inizialmente ferma.

a.  Stabilire le velocità delle due sfere dopo l’urto, nell’ipotesi che tale urto sia perfettamente elastico.

b.  Stabilire le velocità delle due sfere dopo l’urto, nell’ipotesi che esso sia completamente anelastico. Esprimere, in questo caso, il valore dell’energia dissipata.

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Soluzione

sfera che urta una sfera ferma

a. Nel caso di urto perfettamente elastico si conserva l’energia e la quantità di moto. Impostiamo le due equazioni:

\(\left\{ \begin{align}  & \frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\left( 3m \right){{v}_{2}}^{2} \\ & mv=m{{v}_{1}}+3m{{v}_{2}} \\\end{align} \right.\)

È possibile semplificare le masse nelle equazioni e il sistema diventa:

\(\left\{ \begin{align}  & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & v={{v}_{1}}+3{{v}_{2}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+9{{v}_{2}}^{2}+6{{v}_{1}}{{v}_{2}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & 6{{v}_{2}}^{2}+6{{v}_{1}}{{v}_{2}}=0 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & {{v}_{2}}+{{v}_{1}}=0 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & {{v}^{2}}=4{{v}_{2}}^{2} \\ & {{v}_{2}}=-{{v}_{1}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & {{v}_{1}}=\frac{1}{2}v \\ & {{v}_{2}}=-\frac{1}{2}v \\\end{align} \right.\)

b. Nel caso di urto perfettamente anelastico si conserva soltanto la quantità di moto e le due sfere si attaccano formando un unico corpo. L’equazione in questo caso è unica:

\(mv=(m+3m){{v}_{1}}\) \(\Rightarrow \) \({{v}_{1}}=\frac{1}{4}v\)

L’energia prima dell’urto vale \(K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)

L’energia dopo dell’urto diventa: \({{K}_{1}}=\frac{1}{2}\left( m+3m \right){{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{8}m{{v}^{2}}\)

L’energia persa nell’urto è pari alla variazione di energia cinetica tra l’istante prima dell’urto e l’istante successivo all’urto:

\(\Delta K=K-{{K}_{1}}=\frac{3}{8}m{{v}^{2}}\)

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Soluzione quesito 8 – simulazione seconda prova maturità scientifica 28 febbraio 2019

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali

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