Soluzione Quesito 7 – Simulazione Seconda prova scientifica 28 febbraio 2019
Una sfera di massa \(m\) urta centralmente a velocità \(v\) una seconda sfera, avente massa \(3m\) ed inizialmente ferma.
a. Stabilire le velocità delle due sfere dopo l’urto, nell’ipotesi che tale urto sia perfettamente elastico.
b. Stabilire le velocità delle due sfere dopo l’urto, nell’ipotesi che esso sia completamente anelastico. Esprimere, in questo caso, il valore dell’energia dissipata.
Continua a leggere la soluzione del quesito 7 – Simulazione maturità scientifica 2019 – prova multidisciplinare che aggiunge la fisica alla tradizionale matematica – 28 febbraio 2019 – MIUR
Soluzione
a. Nel caso di urto perfettamente elastico si conserva l’energia e la quantità di moto. Impostiamo le due equazioni:
\(\left\{ \begin{align} & \frac{1}{2}m{{v}^{2}}=\frac{1}{2}m{{v}_{1}}^{2}+\frac{1}{2}\left( 3m \right){{v}_{2}}^{2} \\ & mv=m{{v}_{1}}+3m{{v}_{2}} \\\end{align} \right.\)
È possibile semplificare le masse nelle equazioni e il sistema diventa:
\(\left\{ \begin{align} & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & v={{v}_{1}}+3{{v}_{2}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+9{{v}_{2}}^{2}+6{{v}_{1}}{{v}_{2}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & 6{{v}_{2}}^{2}+6{{v}_{1}}{{v}_{2}}=0 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{v}^{2}}={{v}_{1}}^{2}+3{{v}_{2}}^{2} \\ & {{v}_{2}}+{{v}_{1}}=0 \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{v}^{2}}=4{{v}_{2}}^{2} \\ & {{v}_{2}}=-{{v}_{1}} \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & {{v}_{1}}=\frac{1}{2}v \\ & {{v}_{2}}=-\frac{1}{2}v \\\end{align} \right.\)
b. Nel caso di urto perfettamente anelastico si conserva soltanto la quantità di moto e le due sfere si attaccano formando un unico corpo. L’equazione in questo caso è unica:
\(mv=(m+3m){{v}_{1}}\) \(\Rightarrow \) \({{v}_{1}}=\frac{1}{4}v\)
L’energia prima dell’urto vale \(K=\frac{1}{2}m{{v}^{2}}\)
L’energia dopo dell’urto diventa: \({{K}_{1}}=\frac{1}{2}\left( m+3m \right){{v}_{1}}^{2}=\frac{1}{8}m{{v}^{2}}\)
L’energia persa nell’urto è pari alla variazione di energia cinetica tra l’istante prima dell’urto e l’istante successivo all’urto:
\(\Delta K=K-{{K}_{1}}=\frac{3}{8}m{{v}^{2}}\)
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