Cambio di coordinate negli integrali tripli
In generale un cambio di coordinate per integrali tripli si ottiene attraverso una funzione
\(h:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\)
(a volte chiamata mappa) e rappresentata da:
\(\left\{ \begin{align} & x=h_1({x}’,{y}’,{z}’) \\ & y=h_2({x}’,{y}’,{z}’) \\ & z=h_3({x}’,{y}’,{z}’) \\ \end{align} \right.\)
La matrice Jacobiana è data da:
\(J=\left[\begin{matrix} \frac{\partial {{h}_{1}}}{\partial x} & \frac{\partial {{h}_{1}}}{\partial y} & \frac{\partial {{h}_{1}}}{\partial z} \\ \frac{\partial {{h}_{2}}}{\partial x} & \frac{\partial {{h}_{2}}}{\partial y} & \frac{\partial {{h}_{2}}}{\partial z} \\ \frac{\partial {{h}_{3}}}{\partial x} & \frac{\partial {{h}_{3}}}{\partial y} & \frac{\partial {{h}_{3}}}{\partial z} \\ \end{matrix}\right]\)
Attraverso questa funzione è possibile passare dal sistema di coordinate \((x,y,z)\) ad un nuovo sistema di coordinate \(({x}’,{y}’,{z}’)\).
Il mappaggio attraverso la funzione \(h\) deve essere essere fatto sia sull’insieme \(A\) che nel nuovo sistema di coordinate diventa \({A}’\), sia sulla funzione che diventa \(f(x,y,z)=f(h_1({x}’,{y}’,{z}’),h_2({x}’,{y}’,{z}’),h_3({x}’,{y}’,{z}’))\) , sia sul volume elementare che nel passare da un sistema di riferimento all’altro subisce una deformazione e se ne tiene conto attraverso il modulo del determinante della matrice Jacobiana e si ha \(dxdydz=|detJ|{dx}'{dy}'{dz}’\).
Quindi nel nuovo sistema di coordinate l’integrale triplo diventa:
\(\iiint\limits_{A}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{A}’}{f(h_1({x}’,{y}’,{z}’),h_2({x}’,{y}’,{z}’),h_3({x}’,{y}’,{z}’))|detJ|{dx}'{dy}'{dz}’}\)
I principlai sistemi di coordinate che si utilizzano per integrali tripli sono le coordinate cilindriche e sferiche.
Coordinate cilindriche
Il passaggio in coordinate cilindriche si ottiene attraverso la funzione:
\(\left\{ \begin{align} & x=\rho \cos \theta \\ & y=\rho \sin \theta \\& z=z \\\end{align} \right.\)
con \(\rho \ge 0 \) e \(\theta \in [0, 2\pi)\)
Il deteminante della matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate è dato da:
\(|detJ|=\rho\)
Le variabili \(\rho\) e \(\theta\) hanno un significato geometrico nel sistema di coordinate \((x,y,z)\)
In particolare \(\rho\) rappresenta la distanza del punto dall’asse z, mentre \(\theta\) misura l’angolo compreso tra l’asse x e la semiretta che parte dall’origine degli assi e passante per la proiezione del punto \(P\) sul piano (x,y).
Per comprendere meglio osserviamo la figura che segue.
Coordinate sferiche
Il passaggio in coordinate sferiche si ottiene attraverso la funzione:
\(\left\{ \begin{align} & x=\rho \cos \theta \sin \phi \\ & y=\rho \sin \theta \sin \phi \\ & z=\rho \cos \phi \\\end{align} \right.\)
con \(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\) e \(\phi \in \left[ 0,\pi \right]\).
Il deteminante della matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate è dato da:
\(|detJ|=\rho^2 \sin \phi\)
Le variabili \(\rho\), \(\theta\) e \(\phi\) hanno un significato geometrico nel sistema di coordinate \((x,y,z)\)
In particolare la variabile \(\rho\) rappresenta la distanza del punto dall’origine degli assi. La variabile \(\theta\) misura l’angolo compreso tra il semiasse positivo delle x e la semiretta che parte dall’origine degli assi e passante per la proiezione del punto \(P\) sul piano (x,y). La variabile \(\phi\) rappresenta invece l’angolo compreso tra il semiasse positivo delle z e il segmento congiungente l ‘origine degli assi al punto \(P\).
Per comprendere meglio osserviamo la figura che segue.
