Vogliamo studiare la continuità e la derivabilità della funzione\(f\left( x,y \right)\) nell’origine.
\(f(x,y)=\left\{ \begin{align} & \frac{\sqrt{|xy|}}{x+y}\,\,se\,\,\,(x,y)\ne (0,0) \\ & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,(x,y)=(0,0) \\ \end{align} \right.\)
Iniziamo studiando la derivabilità nell’origine della funzione\(f\left( x,y \right)\).Per fare ciò calcoliamo le due derivate parziali (rispetto all’asse x e rispetto all’asse y) attraverso la definizione, ovvero mediante il limite del rapporto incrementale.
\({{{f}’}_{x}}\left( 0,0 \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\) \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{0}{t}=0\)
Nota bene che nel limite non si ha una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ come si potrebbe pensare erroneamente, perché il numeratore vale esattamente 0, mentre il denominatore tende a 0.
\({{{f}’}_{y}}\left( 0,0 \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(0,t)-f(0,0)}{t}=\) \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{0}{t}=0\)
Entrambe le derivate parziali esistono e sono finite e valgono \({{{f}’}_{x}}\left( 0,0 \right)={{{f}’}_{y}}\left( 0,0 \right)=0\). Possiamo quindi concludere che la funzione\(f\left( x,y \right)\) è derivabile nell’origine.
Verifichiamo ora se la funzione è anche continua nell’origine, e per fare ciò dobbiamo verificare l’uguaglianza \(\underset{(x,y)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=f(0,0)\) .
Il valore della funzione nell’origine è \(f(0,0)=0\), quindi calcolando il limite della funzione nell’origine si dovrebbe avere che quest’ultimo vale zero.
Verifichiamo quindi se il limite esiste e se vale zero.
Guardando la funzione si può osservare che il numeratore e il denominatore sono dello stesso ordine di grandezza e questo ci può far pensare che sono confrontabili. Proviamo a mettere in relazione le variabili x e y.
Se poniamo ad esempio \(x=y\) il limite diventa \(\underset{x\to 0} {\mathop{\lim }}\,\frac{|x|}{x+x}\neq 0\)
La funzione non tende a zero, quindi possiamo concludere che il limite non esiste.
Per quanto riguarda le conclusioni che possiamo trarne dall’esempio è che una funzione derivabile in più variabili non è detto che sia continua, a differenza di quanto accade con una sola variabile.
Questo esempio dimostra che la derivabilità non implica la continuità. In più variabili, una condizione sufficiente alla continuità è la differenziabilità.
In più di una variabile vale il teorema che afferma che se una funzione è differenziabile allora è anche continua
