Esercizio 1
Verificare se esiste il seguente limite \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}}\)
Se si pone \(x={{t}^{2}},\,\,y=t\) , \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{e}^{-\frac{{{t}^{4}}}{{{t}^{4}}}}}={{e}^{-1}}\)
E inoltre proviamo a porre \(x={{t}^{4}},\,\,y=t\), \(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{e}^{-\frac{{{t}^{8}}}{{{t}^{4}}}}}={{e}^{0}}=1\)
Quindi il limite non esiste
Esercizio 2
Verificare se esiste il seguente limite
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)
Prima cosa facciamo un pò di passaggi di matematica.
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \frac{{{y}^{2}}}{x} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\frac{{{y}^{4}}}{{{x}^{2}}} \right)}=\)\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\)
Dove si è posto che \(t=\frac{{{y}^{2}}}{x}\). Quest’ultima è una quantità che può tendere a qualsiasi cosa, facendo variare il rapporto tra \(x\) e \(y\). Si può quindi concludere che il limite non esiste.
Infatti se ad esempio si ponesse \(x={{y}^{2}}\) , allora \(t\to 1\) il risultato del limite sarebbe \(\frac{1}{2}\). Se invece si ponesse che \(x=y\) , \(t\to 0\) e allora il risultato del limite sarebbe \(0\). Per giustificare il fatto che il limite non esiste si può pertanto richiamare il teorema di unicità del limite.
Esercizio 3
Calcolare il seguente limite
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}\).
Ed ecco a voi lo svolgimento:
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }^{3}}\left( 1+y-1 \right)}{{{\left( y-1 \right)}^{3}}}\frac{{{\left( y-1 \right)}^{3}}{{x}^{2}}}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}=\)
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }^{3}}\left( 1+y-1 \right)}{{{\left( y-1 \right)}^{3}}}\frac{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}}{{{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+1 \right]}^{2}}}\left( y-1 \right)\)\(=0\)
Esercizio 4
Verificare se esiste il limite seguente \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)
Ecco a voi lo svolgimento.
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-1}{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}\frac{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}+\)\(\frac{1-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{2{{y}^{2}}}\frac{2{{y}^{2}}}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)
se si pone \(x=2y\) \(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{3{{y}^{2}}}}-1}{3{{y}^{2}}}\frac{3{{y}^{2}}}{24{{y}^{2}}+{{y}^{4}}}+\)\(\frac{1-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{2{{y}^{2}}}\frac{2{{y}^{2}}}{24{{y}^{2}}+{{y}^{4}}}=\)\(\frac{3}{24}+\frac{1}{2}\frac{1}{12}=\frac{1}{6}\)
e inoltre proviamo a porre \(x=3y\) \(\underset{y\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{8{{y}^{2}}}}-1}{8{{y}^{2}}}\frac{8{{y}^{2}}}{54{{y}^{2}}+{{y}^{4}}}+\)\(\frac{1-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{2{{y}^{2}}}\frac{2{{y}^{2}}}{54{{y}^{2}}+{{y}^{4}}}\ne \frac{1}{6}\)
Il limite quindi non esiste.
Esercizio 5
Verificare se esiste il seguente limite
\(\underset{\left( x,y \right)\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}\)
Ecco a voi lo svolgimento quindi:
\(y={{x}^{10}}\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{21}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{20}}}=\infty \) salutiamo perciò il professore Gobbino
\(y=x\,\,\,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{1+{{x}^{4}}+{{x}^{2}}}=0\)
Il limite quindi non esiste, perchè non risulta verificato il teorema di unicità del limite!
Esercizio 6
Verificare se esiste e in caso affermativo calcolare il seguente limite:
\(\underset{\left( x,y \right)\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}\sim \underset{\left( x,y \right)\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{y}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{{{y}^{6}}}{{{x}^{4}}}}\)
Ed ecco a voi lo svolgimento quindi
\(\underset{\left( x,y \right)\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\frac{\frac{y}{{{x}^{2/3}}}}{1+\frac{{{y}^{6}}}{{{x}^{4}}}}=\)\(\underset{\left( x,y \right)\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\frac{t}{1+{{t}^{6}}}=0\)
Ci siamo pertanto ricondotti a una forma non indeterminata, perchè \(\frac{t}{1+{{t}^{6}}}\) è una funzione limitata e \(\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\to 0\) per \(x\to \infty \)
Esercizio 7
Studiare la continuità della seguente funzione:
\(f\left( x,y \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{x}^{3}}y}{{{x}^{4}}+{{y}^{2}}},se\left( x,y \right)\ne 0 \\ & 0,se\left( x,y\right)=0 \\\end{align} \right.\)
Ecco a voi la soluzione quindi
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}y}{{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}=\)\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{y}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{4}}}}x=\)\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{1+{{t}^{2}}}x=0\)
La funzione risulta quindi continua \(\forall (x,y)\in {{\mathbb{R}}^{2}}\)
Esercizio 8
Studiare la continuità della seguente funzione:
\(f\left( x,y \right)=\left\{ \begin{align} & x\,{{e}^{\frac{x}{{{y}^{2}}}}}\,\,\,\,\,se\,\,\,\,y\ne 0 \\ & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,y=0\,\,\,\,\, \\ \end{align} \right.\)
Ed ecco a voi lo svolgimento quindi.
Osserviamo subito che il problema della continuità si pone in prossimità di \(y=0\). Allora studiamo separatamente la semiretta con \(x\) positiva, la semiretta con \(x\) negativa e infine l’origine.
Vediamo subito che la funzione risulta continua per \(x\) positivi
\({{x}_{0}}>0\,\,\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( {{x}_{0}},0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{x}_{0}}\,{{e}^{-\frac{{{x}_{0}}}{{{y}^{2}}}}}=\)\({{x}_{0}}\,{{e}^{-\infty }}=0\)
La funzione invece risulta discontinua per \(x\) negativi
\({{x}_{0}}<0\,\,\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( {{x}_{0}},0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{x}_{0}}\,{{e}^{-\frac{{{x}_{0}}}{{{y}^{2}}}}}=\)\({{x}_{0}}\,{{e}^{+\infty }}=+\infty \)
Ed infine vediamo che non è continua nell’origine, infatti
Pertanto possiamo concludere che la funzione risulta continua \(\forall x\in {{\mathbb{R}}^{2}}/\left\{ \left( a,0 \right),\,\,\,a\le 0 \right\}\)
Esercizio 9
Studiare la continuità della seguente funzione:
\(f\left( x,y \right)=\left\{ \begin{align} & \frac{{{\left| y \right|}^{a}}\sin x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\,\,\,\,se\,\,\,\,\left( x,y \right)\ne 0 \\ & 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,se\,\,\,\,\left( x,y \right)=0\,\,\,\,\, \\\end{align} \right.\)
Per studiare la continuità nell’origine utilizziamo esprimiamo \(x, y\) attraverso una parametrizzazione polare.
\(x=\rho \cos \theta ,\,\,\,y=\rho \sin \theta \)
\(se\,\,\,x\to 0\,\,\,\,\,-\frac{{{\left| y \right|}^{a}}\left| x \right|}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}<\frac{{{\left| y \right|}^{a}}\sin x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}<\frac{{{\left| y \right|}^{a}}\left| x \right|}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
\(se\,\,\rho \to 0\,\,\,\,\,\,\,{{\left| \rho \right|}^{a-1}}<-\frac{{{\left| \rho \right|}^{a}}{{\left| \sin \theta \right|}^{a}}\left| \rho \right|\left| \cos \theta \right|}{{{\rho }^{2}}}<f\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta \right)<\)\(\frac{{{\left| \rho \right|}^{a}}{{\left| \sin \theta \right|}^{a}}\left| \rho \right|\left| \cos \theta \right|}{{{\rho }^{2}}}<{{\left| \rho \right|}^{a-1}}\)
Allora, per il teorema dei carabinieri, il limite è \(0\) se \(a>1\). Per \(a<1\) il risultato dipende da \(\theta \) , mentre per \(a=1\) si studia a parte.
\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| y \right|\sin x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| y \right|x}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\frac{\sin x}{x}\,\)
Se \(y=x\) si ha \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| x \right|x}{{{x}^{2}}+{{x}^{2}}}\frac{\sin x}{x}\,=\frac{1}{2}\ne 0\), quindi la funzione non è continua.
Esercizio 10
Studiare la continuità e la differenziabilità della seguente funzione:
\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}=\)\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,x\frac{{{x}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}=\)\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,x\,\,\frac{\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}{\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}+1}\,\,=\)\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,x\,\,\frac{{{t}^{2}}}{{{t}^{2}}+1}=0\)
\({{{f}’}_{x}}\left( 0,0 \right)=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( t,0 \right)-f\left( 0,0 \right)}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{t}=1\)
\({{{f}’}_{y}}\left( 0,0 \right)=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 0,t \right)-f\left( 0,0 \right)}{t}=\)\(\frac{0}{t}=0\)
\( =\)\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim}}\,\frac{\frac{{{h}^{3}}}{{{h}^{2}}+{{k}^{4}}}-h\,}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}=\)\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{1\,}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}\frac{-h{{k}^{4}}}{{{h}^{2}}+{{k}^{4}}}=\)\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{k}^{2}}\frac{-\frac{h}{{{k}^{2}}}\,}{\sqrt{\frac{{{h}^{2}}}{{{k}^{4}}}+1}}\frac{1}{\frac{{{h}^{2}}}{{{k}^{4}}}+1}=\)\( \underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{k}^{2}}\frac{-t}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}}\frac{1}{{{t}^{2}}+1}=0 \)
Esercizio 11
Studiare la continuità e la differenziabilità della seguente funzione:
\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=1\)
\({{{f}’}_{x}}\left( 0,0 \right)=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( t,0 \right)-f\left( 0,0 \right)}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sin \left| t \right|}{\left| t \right|}-1}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left| t \right|-\left| t \right|}{t\left| t \right|}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| t \right|-\frac{1}{6}{{\left| t \right|}^{3}}-\left| t \right|}{t\left| t \right|}=0\)
\({{{f}’}_{y}}\left( 0,0 \right)=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 0,t \right)-f\left( 0,0 \right)}{t}=0\) (per simmetria)
\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{\sin \sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}-1}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}=\)\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}-\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin t-t}{{{t}^{2}}}=\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{t}^{3}}/6}{{{t}^{2}}}=0\)
Esercizio 12
Studiare la continuità e la differenziabilità della seguente funzione:
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\,\frac{x\left| y \right|}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}=\)\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,x\frac{\left| \frac{y}{x} \right|}{\sqrt{1+\frac{{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}}}}=\)\(\,\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,x\frac{\left| t \right|}{\sqrt{1+{{t}^{2}}}}=0\)
\({{{f}’}_{x}}\left( 0,0 \right)=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( t,0 \right)-f\left( 0,0 \right)}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{0}{\sqrt{{{t}^{2}}+0}}-0}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{0}{t}=0\)
\({{{f}’}_{y}}\left( 0,0 \right)=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( 0,t \right)-f\left( 0,0 \right)}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{0}{\sqrt{{{t}^{2}}+0}}-0}{t}=\)\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{0}{t}=0\)
\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{h\left| k \right|}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}}{\sqrt{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}}=\)\(\underset{\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{h\left| k \right|}{{{h}^{2}}+{{k}^{2}}}\)
Con \(h=k\,\,\,\,\underset{h\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{h\left| h \right|}{{{h}^{2}}+{{h}^{2}}}=\pm \frac{1}{2}\) . Si ha quindi che la funzione non è differenziabile.
