FORMA GENERALE DI UN EQUAZIONE DIFFERENZIALE
\(\Phi \left( t,x,x’,x”,…,{{x}^{(n)}} \right)=0\)
Problema di Cauchy
\(\left\{ \begin{align}
& \Phi \left( t,x,x’,x”,…,{{x}^{(n)}} \right)=0 \\
& x'({{t}_{1}})={{\beta }_{1}} \\
& x”({{t}_{2}})={{\beta }_{2}} \\
& \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\vdots \\
& {{x}^{(n)}}({{t}_{n}})={{\beta }_{n}} \\
\end{align} \right.\)
Ordine dell’equazione differenziale
È il massimo grado con cui compare la derivata
Equazioni differenziali lineari
\({{a}_{n}}\left( t \right){{x}^{(n)}}+{{a}_{n-1}}\left( t \right){{x}^{(n-1)}}+…+{{a}_{1}}\left( t \right)x’+{{a}_{0}}\left( t \right)x=f\left( t \right)\)
Equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti
\({{a}_{n}}\,{{x}^{(n)}}+{{a}_{n-1}}\,{{x}^{(n-1)}}+…+{{a}_{1}}\,x’+{{a}_{0}}\,x=f\left( t \right)\)
SOLUZIONE DI UN’EQUAZIONE DIFFERENZIALE
Sia \(f:A\subseteq {{\mathbb{R}}^{k+1}}\to \mathbb{R}\) con \(A\) aperto.
Si definiscono:
Soluzione locale
Una funzione \(y\) si dice soluzione locale dell’equazione differenziale \({{x}^{(k)}}=f\left( t,x,{x}’,..,{{x}^{(k-1)}} \right)\) se:
1. Il suo dominio è un intervallo, ovvero \(x:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\)
2. \(x:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) è derivabile \(k\) volte in \(I\)
3. Per ogni \(t\in I\) risulta \(\left( t,x\left( t \right),{x}’\left( t \right),…,{{x}^{(k-1)}}\left( t \right) \right)\in A\)
4. Per ogni \(t\in I\) risulta verificata l’equazione differenziale.
Soluzione locale
Siano \(z:J\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) e \(x:I\subseteq \mathbb{R}\to \mathbb{R}\) due soluzioni locali dell’equazione differenziale di dice che \(z\) è un prolungamento della soluzione \(y\) se:
1. \(I\subseteq J\)
2. \(z\left( t \right)=y\left( t \right)\,\,\,\forall t\in I\)
In poche parole \(z\) è un prolungamento della soluzione se è anche essa soluzione, ma risulta definita su un intervallo \(J\) più ampio rispetto a \(I\).
Si dice prolungamento proprio se \(I\subset J\), cioè esiste almeno un elemento del secondo insieme non contenuto nel primo.
Soluzione massimale
Si definisce soluzione massimale se non esiste prolungamento proprio di essa.
Ad esempio se\[x:\left( a,b \right)\to \mathbb{R}\] è soluzione dell’equazione differenziale e in\(a\) e \(b\)la funzione presenta asintoti verticali, allora la soluzione non è prolungabile e quindi è soluzione massimale.
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A VARIABILI SEPARABILI
\(\left\{ \begin{align} & x’=f(u)\,g(t) \\ & x({{t}_{0}})={{x}_{0}} \\ \end{align} \right.\)
Procedura risolutiva:
I. Separare\(x’=\frac{dx}{dt}=f(x)g(t)\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\frac{dx}{f(x)}=g(t)dt\)
II. Integrare\(\int{\frac{dx}{f(x)}}=\int{g(t)dt}+c\)
III. Ricavare\(x(t)\).
IV. Ricavare \(c\)
N.B: Se imponendo la condizione iniziale si verifica che il problema non ammette soluzione allora optiamo per la soluzione costante: \(x\left( t \right)=\beta \,\,\)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL PRIMO ORDINE A COEFFICIENTI NON COSTANTI
\(x’+a\left( t \right)x=b\left( t \right)\)
Soluzione omogenea
\(x’+a\left( t \right)x=0\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\frac{dx}{x}=-a\left( t \right)dt\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\int{\frac{dx}{x}}=-\int{a\left( t \right)dt}\,\,\Rightarrow \,\,\,\)
\({{x}_{O}}\left( t \right)=c\,{{e}^{-A\left( t \right)}}\)
Soluzione particolare
\({{x}_{P}}\left( t \right)={{e}^{-A\left( t \right)}}\int{{{e}^{A\left( t \right)}}}b\left( t \right)dt\)
Soluzione generale
\(x\left( t \right)={{x}_{O}}\left( t \right)\,\,+\,\,{{x}_{P}}\left( t \right)\)
EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFFICIENTI COSTANTI
\({{a}_{n}}\,{{x}^{(n)}}+{{x}_{n-1}}\,{{u}^{(n-1)}}+…+{{x}_{1}}\,u’+{{a}_{0}}\,x=f\left( t \right)\) dove \({{a}_{0}},\,\,\,{{a}_{1}},\,\,\,…\,\,,\,\,{{a}_{n}}\) sono costanti
EQUAZIONI OMOGENEE
\({{a}_{n}}{{x}^{(n)}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{(n-1)}}+…+{{a}_{1}}x’+{{a}_{0}}x=0\)
Teorema
L’insieme delle soluzioni di un equazione differenziale omogenea è uno spazio vettoriale di dimensione \(n\)
\(se\,\,\,u,\,\,\,v\,\,\,sono\,\,soluzioni\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\left\{ \begin{align}& u+v\,\,\,\,\,\grave{e}\,\,soluzione \\ & \lambda u\,\,\,e\,\,\,\,\lambda v\,\,\,\,sono\,\,soluzioni \\ \end{align} \right.\)
Trovare una base della soluzione:
Studio del polinomio caratteristico:
\(p(\lambda )={{a}_{n}}{{\lambda }^{n}}+{{a}_{n-1}}{{\lambda }^{n-1}}+…+{{a}_{1}}\lambda +{{a}_{0}}\) è un polinomio di grado n
Bisogna cercare le radici del polinomio caratteristico:
\({{a}_{n}}{{\lambda }^{n}}+{{a}_{n-1}}{{\lambda }^{n-1}}+…+{{a}_{1}}\lambda +{{a}_{0}}=0\)
Ha \(n\) radici. Per ogni radice, determino k elementi della base, dove k è la molteplicità della radice:
• \(\lambda \) radice reale con molteplicità unitaria \(\Rightarrow \)\(\left\{ {{e}^{\lambda t}} \right\}\)
• \(\lambda \) radice reale con molteplicità k\(\Rightarrow \)\(\left\{ {{e}^{\lambda t}},t{{e}^{\lambda t}},…,{{t}^{k-1}}{{e}^{\lambda t}} \right\}\)
• \(\alpha \pm j\beta \) coppia di radici complesse e coniugate con molteplicità unitaria \(\Rightarrow \)\(\left\{ {{e}^{\alpha t}}\cos \left( \beta t \right),\,\,{{e}^{\alpha t}}\sin \left( \beta t \right) \right\}\)
• \(\alpha \pm j\beta \)coppia di radici complessa e coniugate con molteplicità k \(\begin{align}
• & \left\{ {{e}^{\alpha t}}\cos \left( \beta t \right),\,\,{{e}^{\alpha t}}\sin \left( \beta t \right), \right.\,\,\,\,t{{e}^{\alpha t}}\cos \left( \beta t \right),\,\,t{{e}^{\alpha t}}\sin \left( \beta t \right),… \\
• & ..\left. ,{{t}^{k-1}}{{e}^{\alpha t}}\cos \left( \beta t \right),\,\,{{t}^{k-1}}{{e}^{\alpha t}}\sin \left( \beta t \right) \right\} \\
• \end{align}\)
La SOLUZIONE è data dalla combinazione lineare degli n elementi della base:
\(x(t)={{c}_{1}}{{x}_{1}}\left( t \right)+{{c}_{2}}{{x}_{2}}\left( t \right)+…+{{c}_{n}}{{x}_{n}}\left( t \right)\)
EQUAZIONI NON OMOGENEE
\({{a}_{n}}{{x}^{(n)}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{(n-1)}}+…+{{a}_{1}}x’+{{a}_{0}}x=f\left( t \right)\,\,\,\,\,con\,\,\,\,f\left( t \right)\ne 0\)
La soluzione di un equazione differenziale non omogenea si scrive nella forma:
\(x\left( t \right)=\underbrace{{{c}_{1}}{{x}_{1}}\left( t \right)+…+{{c}_{n}}{{x}_{n}}\left( t \right)}_{\begin{smallmatrix}
soluzione\,dell’equazione \\
\,\,\,\,\,\,omogenea\,\,associata
\end{smallmatrix}}\,\,\,\,\,\,\,+\,\,\underbrace{\bar{x}\left( t \right)}_{soluzione\,particolare}\)
SOLUZIONE OMOGENEA
Risolvere: \({{a}_{n}}{{x}^{(n)}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{(n-1)}}+…+{{a}_{1}}x’+{{a}_{0}}x=0\) con il metodo descritto nel paragrafo precedente.
SOLUZIONE PARTICOLARE
Metodo della verosimiglianza
Il metodo della verosimiglianza afferma che la soluzione particolare è quella più verosimile (che somiglia di più) al termine forzante \(f\left( t \right)\).
-Se \(f(t)\) è del tipo \({{e}^{\alpha t}}\):
Allora la soluzione particolare è nella forma \(\bar{x}\left( t \right)=k\,{{e}^{\alpha t}}\) e cerco \(k\)
– Se \(k{{e}^{\alpha t}}\) è già soluzione dell’omogenea allora la soluzione particolare è nella forma \(\bar{x}\left( t \right)=k\,t{{e}^{\alpha t}}\)e anche quest’ultima è già soluzione allora la soluzione particolare sarà nella forma \( \\,\bar{x}\left( t \right)=k\,\) \({{t}^{2}}{{e}^{\alpha t}}\) e così via..
– Se \(f(t)\) è un polinomio (ad esempio \({{t}^{2}}+3\) è un polinomio di secondo grado) allora la soluzione sarà un polinomio dello stesso grado \(\bar{x}\left( t \right)=a\,{{t}^{2}}+b\,t+c\) nei coefficienti a,b e c da determinare.
– Se \(f\left( t \right)\) è del tipo seno o coseno (es. \(f\left( t \right)=\sin (\alpha t)\)) allora la soluzione particolare sarà \(\bar{x}\left( t \right)=a\,\cos \left( \alpha t \right)+b\sin \left( \alpha t \right)\)
– Se \(a\,\cos \left( \alpha t \right)+b\sin \left( \alpha t \right)\) è già soluzione dell’omogenea allora la soluzione particolare sarà con \(\bar{x}\left( t \right)=t\left( a\,\cos \left( \alpha t \right)+b\sin \left( \alpha t \right) \right)\)
– Se \(f\left( t \right)\) è una combinazione lineare delle precedenti
Allora la soluzione particolare sarà con una soluzione che è combinazione lineare delle precedenti.
Per finire, sostituisco la soluzione particolare con i coefficienti da determinare nell’equazione differenziale.
In alternativa è possibile utilizzare un metodo più meccanico ma in generale più calcoloso che è quello della variazione delle costanti di Lagrange descritto nel prossimo paragrafo.
Metodo della variazione delle costanti (Wronskiano)
Il metodo della variazione delle costanti si può applicare se le soluzioni dell’equazione omogenea sono linearmente indipendenti.
Equazione differenziale di ordine n
\({{x}^{(n)}}+{{a}_{n-1}}\left( t \right){{x}^{(n-1)}}+…+{{a}_{1}}\left( t \right)x’+{{a}_{0}}\left( t \right)x=f\left( t \right)\)
La soluzione dell’omogenea associata si calcola come descritto nel primo paragrafo ed è nella forma \({{x}_{OM}}={{k}_{1}}{{x}_{O,1}}\left( t \right)+{{k}_{2}}{{x}_{O,2}}\left( t \right)+….+{{k}_{n}}{{x}_{O,n}}\left( t \right)\)
La soluzione particolare è nella forma: \({{x}_{P}}(t)={{c}_{1}}\left( t \right){{x}_{O,1}}\left( t \right)+..+{{c}_{n}}\left( t \right){{x}_{O,n}}\left( t \right)\)
\(\left\{ \begin{align}
& {{{{c}’}}_{1}}\left( t \right){{x}_{1}}\left( t \right)+…+{{{{c}’}}_{n}}\left( t \right){{x}_{n}}\left( t \right)=0 \\
& {{{{c}’}}_{1}}\left( t \right){{{{x}’}}_{1}}\left( t \right)+…+{{{{c}’}}_{n}}\left( t \right){{{{x}’}}_{n}}\left( t \right)=0 \\
& … \\
& {{{{c}’}}_{1}}\left( t \right){{x}_{1}}^{(n-2)}\left( t \right)+…+{{{{c}’}}_{n}}\left( t \right){{x}_{n}}^{(n-2)}\left( t \right)=0 \\
& {{{{c}’}}_{1}}\left( t \right){{x}_{1}}^{(n-1)}\left( t \right)+…+{{{{c}’}}_{n}}\left( t \right){{x}_{n}}^{(n-1)}\left( t \right)=f\left( t \right) \\
\end{align} \right. \)
Risolvendo questo sistema e calcolando le primitive, si ottengono le \({{c}_{i}}\left( t \right)\). Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema è chiamato Wronskiano \(W\left( t \right)\) .
Il sistema può essere risolto attraverso il metodo di Cramer, considerando che le incognite sono le \({{c}_{i}}^{\prime }\left( t \right)\)
\(W\left( t \right)=\det \left( \begin{matrix}
{{x}_{O,1}}\left( t \right) & \cdots & {{x}_{O,n}}\left( t \right) \\
\vdots & \ddots & {} \\
{{x}_{O,1}}^{(n)}\left( t \right) & \cdots & {{x}_{O,n}}^{(n)}\left( t \right) \\
\end{matrix} \right)\) ,
\({{W}_{i}}\left( t \right)=\det \left( \begin{matrix}
{} & {} & \begin{align}
& i-esima \\
& colonna \\
\end{align} & {} & {} \\
{{x}_{O,1}} & \cdots & 0 & \cdots & {{x}_{O,n}} \\
{{x}_{O,1}}^{\prime } & \cdots & 0 & \cdots & {{x}_{O,n}}^{\prime } \\
& {} & \vdots & {} & {} \\
{{x}_{O,1}}^{(n)} & \cdots & f\left( t \right) & \cdots & {{x}_{O,n}}^{(n)} \\
\end{matrix} \right)\)
dopo aver scritto la matrice e risolto tutti i determinanti vanno risolti i seguenti integrali:
\({{c}_{i}}\left( t \right)=\int{\frac{{{W}_{i}}\left( t \right)}{W\left( t \right)}dt}\,\,\,\,i=1,…,n\)
La soluzione generale è: \(x\left( t \right)={{x}_{OM}}+{{x}_{P}}\)
Equazione differenziale del primo ordine lineare a coefficienti variabili
\(x’+a\left( t \right)x=b\left( t \right)\)
Soluzione omogenea: \({{x}_{OM}}\left( t \right)=c\,{{e}^{-A\left( t \right)}}\)
Il metodo della variazione delle costanti consiste nel cercare una soluzione particolare del tipo:
\(\tilde{x}\left( t \right)=c\left( t \right){{e}^{-A\left( t \right)}}\)
Quindi si sostituisce nell’equazione e si ottiene
\(\tilde{x}’+a\left( t \right)\tilde{x}=b\left( t \right)\)
E si ottiene una soluzione particolare identica a quella presentata in precedenza
\(\tilde{x}\left( t \right)={{e}^{-A\left( t \right)}}\int{{{e}^{A\left( t \right)}}}b\left( t \right)+c\,\,{{e}^{-A\left( t \right)}}\)
Equazione differenziale del secondo Ordine lineare a coefficienti costanti
\(x”+a\left( t \right)x’+b\left( t \right)x=f\left( t \right)\,\,\)
Soluzione dell’ omogenea associata: \({{x}_{OM}}={{k}_{1}}\,\,{{x}_{O,1}}\left( t \right)+{{k}_{2}}\,\,{{x}_{O,2}}\left( t \right)\)
Soluzione particolare: \({{x}_{P}}(t)={{c}_{1}}\left( t \right){{x}_{O,1}}\left( t \right)+{{c}_{2}}\left( t \right){{x}_{O,2}}\left( t \right)\)
\({{c}_{1}}\left( t \right)\) e \({{c}_{2}}\left( t \right)\) si ottengono attraverso il metodo di Cramer:
\(W\left( t \right)=\det \left( \begin{matrix}
{{x}_{O,1}}\left( t \right) & {{x}_{O,2}}\left( t \right) \\
{{x}_{O,1}}^{\prime }\left( t \right) & {{x}_{O,2}}^{\prime }\left( t \right) \\
\end{matrix} \right)\,\,\,,\,\,\,{{W}_{1}}\left( t \right)=\det \left( \begin{matrix}
0 & {{x}_{O,2}}\left( t \right) \\
f\left( t \right) & {{x}_{O,2}}^{\prime }\left( t \right) \\
\end{matrix} \right)\,\,\,\,,\,\,\,\,\,{{W}_{2}}\left( t \right)=\det \left( \begin{matrix}
{{x}_{O,1}}\left( t \right) & 0 \\
{{x}_{O,1}}^{\prime }\left( t \right) & f\left( t \right) \\
\end{matrix} \right)\,\,\)
Trovando le seguenti primitive:
\({{c}_{1}}\left( t \right)=\int{\frac{{{W}_{1}}\left( t \right)}{W\left( t \right)}dt}\) \({{c}_{2}}\left( t \right)=\int{\frac{{{W}_{2}}\left( t \right)}{W\left( t \right)}dt}\)
Sistemi di equazioni differenziali
Sistemi differenziali lineari omogenei del primo ordine. Teorema di esistenza e unicità della soluzione del problema di Cauchy associato. Dimensione dello spazio delle soluzioni. Determinazione di una base (caso coefficienti costanti) per un sistema nxn nel caso diagonalizzabile (reale e complesso), e per un sistema 2×2 nel caso non diagonalizzabile.
Equazioni differenziali omogenee del primo ordine 2×2
\(\mathbf{{v}’}=\mathbf{Av}\)
\(\left\{ \begin{align}
& {x}’={{a}_{11}}x+{{a}_{12}}y \\
& {y}’={{a}_{21}}x+{{a}_{22}}y \\
\end{align} \right.\)
1. Autovalori reali e distinti
\(\lambda \) di cui un autovettore associato è \(\mathbf{u}_{\lambda }^{{}}\) e \(\mu \) di cui un autovettore associato è \(\mathbf{u}_{\mu }^{{}}\).
Una base per la soluzione è
\(B=\left( {{e}^{\lambda t}}{{\mathbf{u}}_{\lambda }},\,\,\,{{e}^{\mu t}}{{\mathbf{u}}_{\mu }} \right)\)
Esempio
\(\left\{ \begin{align} & {x}’=x+2y \\
& {y}’=2x+y \\
\end{align} \right.\)
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix}
1 & 2 \\
2 & 1 \\
\end{matrix} \right]\)
Autovalori reali e distinti: \(\lambda =3\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{\lambda }}=\left( 1\,,\,\,1 \right)\) , e \(\mu =-1\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{\lambda }}=\left( -1\,,\,\,1 \right)\).
Soluzione generale:
\(\left( \begin{align} & x \\ & y \\ \end{align} \right) \) \(={{c}_{1}}{{e}^{3t}}\)\(\left( \begin{align} & 1 \\ & 1 \\ \end{align} \right)\)\(+{{c}_{2}}{{e}^{-t}}\left( \begin{align} & 1 \\ & -1 \\ \end{align} \right)\)
\(\left\{ \begin{align} & x={{c}_{1}}{{e}^{3t}}+{{c}_{2}}{{e}^{-t}} \\ & y={{c}_{1}}{{e}^{3t}}-{{c}_{2}}{{e}^{-t}} \\ \end{align} \right.\,\,\,\,\)
2. Autovalori complessi e coniugati
\(\lambda =a\pm ib\) , dove \(\mathbf{u}+i\mathbf{v}\) è un autovettore associato a \(a+ib\) .
Una base per la soluzione è \(B={{e}^{at}}\left( \cos \left( bt \right)\mathbf{u}-\sin \left( bt \right)\mathbf{v},\,\,\sin \left( bt \right)\mathbf{u}+\cos \left( bt \right)\mathbf{v}\, \right)\)
Esempio
\(\left\{ \begin{align}
& {x}’=2x+2y \\
& {y}’=-x+4y \\
\end{align} \right.\)
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix} 2 & 2 \\ -1 & 4 \\\end{matrix} \right]\)
Autovalori reali e distinti: \({{\lambda }_{1}}=3+i\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{{{\lambda }_{1}}}}=\)\(\left( \begin{align} & 1\,-i \\ & \,\,\,1\\ \end{align}\right)=\)\(\left( \begin{align} & 1 \\ & 1 \\ \end{align} \right)+i\)\(\left(\begin{align} & -1 \\ & \,\,0 \\ \end{align} \right)\) , e \({{\lambda }_{1}}=3-i\) con possibile autovettore \({{\mathbf{u}}_{\lambda }}=\left(\begin{align} & 1\,+i \\ & \,\,\,1 \\ \end{align} \right)\).
Soluzione generale:
\(\left( \begin{align} & x \\ & y \\ \end{align} \right)={{c}_{1}}{{e}^{3t}}\)[\(\cos t\)\(\left( \begin{align} & 1 \\ & 1 \\ \end{align} \right)\)\(-\sin t\)\(\left( \begin{align} & -1 \\ & \,\,0 \\ \end{align} \right)\)]\(+{{c}_{2}}{{e}^{3t}}\)\(\sin t\left(\begin{align} & 1 \\ & 1 \\ \end{align} \right)\)\(+\cos t\)\(\left( \begin{align} & -1\\ & \,\,0 \\ \end{align} \right)\)
\(\left\{ \begin{align}
& x={{e}^{3t}}\left[ {{c}_{1}}\left( \cos t+\sin t \right)+{{c}_{2}}\left( \sin t-\cos t \right) \right] \\
& y={{e}^{3t}}\left[ {{c}_{1}}\cos t+{{c}_{2}}\sin t \right] \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\)
3. Autovalore reali e coincidenti (caso non diagonalizzabile)
Un autovettore \(\mathbf{u}\) associato all’autovettore \(\lambda \).
Per determinare una base per la soluzione bisogna cercare un autovettore generalizzato \(\mathbf{v}\), che si ottiene individuando una soluzione del sistema \(\left( \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \right)\mathbf{v}=\mathbf{u}\).
Una base per la soluzione è \(B={{e}^{\lambda t}}\left( \mathbf{u},\,\,\,t\,\mathbf{u}+\mathbf{v} \right)\)
Esempio
\(\left\{ \begin{align}
& {x}’=-x+4y \\
& {y}’=-x+3y \\
\end{align} \right.\)
\(\mathbf{A}=\left[ \begin{matrix}
-1 & 4 \\
-1 & 3 \\
\end{matrix} \right]\)
Autovalori reali e coincidenti: \(\lambda =1\) , autovettore associato: \(\mathbf{u}=\left( \begin{align}& 2\, \\ & 1 \\
\end{align} \right)\). La molteplicità geometrica è 1 mentre la molteplicità algebrica è 1. Si tratta di una matrice non diagonalizzabile.
Cerco l’autovettore generalizzato \(\mathbf{v}\) risolvendo il sistema \(\left(\mathbf{A}-\mathbf{I} \right)\mathbf{v}=\mathbf{u}\,\,\,\,\Rightarrow\,\,\)\(\left\{ \begin{align} &-2x+4y=2\\ & -x+2y=1 \\ \end{align} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,x=2y-1\)\(\,\,\,\Rightarrow \,\,\mathbf{v}=\left( \begin{align} & 2t-1 \\ & \,\,\,t \\ \end{align} \right)\).
Posto ad esempio \(t=0\) si ha \(\,\mathbf{v}=\left( \begin{align}
& -1 \\
& \,\,\,0 \\
\end{align} \right)\)
\(\left( \begin{align}& x \\ & y \\ \end{align} \right)\)\(={{e}^{t}}\) \([ {{c}_{1}}\)\(\left(\begin{align}& 2 \\ & 1 \\ \end{align} \right)\)\(+{{c}_{2}}\)\(\left(\begin{align} & 2t-1 \\ & t \\ \end{align} \right) ] \)
\(\left\{ \begin{align}
& x={{e}^{t}}\left( 2{{c}_{1}}+2t{{c}_{2}}-{{c}_{2}} \right) \\
& y={{e}^{t}}\left( {{c}_{1}}+t{{c}_{2}} \right) \\
\end{align} \right.\,\,\,\,\)
Osservazione sugli autovalori di una matrice 2×2.
\(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}a & b \\c & d \\ \end{matrix} \right)\)
\(\left( \mathbf{A}-\lambda \mathbf{I} \right)\mathbf{v}=\mathbf{0}\)
\(\left\{ \begin{align} & ax-\lambda x+by=0 \\ & cx+dy-\lambda y=0 \\ \end{align} \right.\)
Pongo \(y=m\,x\) e \(x\ne 0\)
\(\left\{ \begin{align}
& ax-\lambda x+bmx=0 \\
& cx+dmx-\lambda mx=0 \\
\end{align} \right.\)
\(\left\{ \begin{align}& a-\lambda +bm=0 \\& c+dm-\lambda m=0 \\
\end{align} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\)\(\left\{ \begin{align}& \lambda =a+bm\\& c+dm-\lambda m=0 \\\end{align} \right.\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\)\(c+dm-\left( a+bm \right)m=0\,\,\Rightarrow \,\,\)\(-b{{m}^{2}}+\left( d-a \right)m+c=0\)
Da cui si ottiene che \[m=\frac{a-d\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{-2b}=\frac{d-a\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{2b}\] e che \[\lambda =a+b\frac{d-a\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{2b}=\frac{a+d\pm \sqrt{{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc}}{2}\]
La soluzione del sistema fornisce coppie di autovalori e coefficienti angolari che stanno a rappresentare l’autospazi ad essi associati. Gli autovalori saranno \(\mathbf{v}=\left( x,mx \right)\)
Autovalori reali e coincidenti si hanno se \[{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc=0\]. In tal caso risultano coincidenti anche i relativi autospazi definiti dalla stessa retta \(y=mx\) di coefficiente angolare \[m=\frac{a-d}{2b}\]. La molteplicità geometrica per questi autovalori (unitaria) è diversa da quella algebrica e quindi la matrice risulta in nessun caso diagonalizzabile. Bisogna escludere il caso \(a=d\) e \(b=c=0\) , perché in tal caso anche se gli autovalori risultano reali e coincidenti, la matrice è già una matrice diagonalizzabile, quindi una banale diagonalizzazione si ottiene utilizzando come matrice di cambio di base la matrice identica \(\mathbf{D}=\mathbf{A}=\mathbf{IA}{{\mathbf{I}}^{-1}}\) .
Autovalori reali e distinti si hanno se \[{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc>0\].
Autovalori complessi e coniugati si hanno se \[{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc<0\].
Esempi di matrici 2×2 non diagonalizzabili
Ponendo ad esempio \(a=1,d=-1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc=4+4bc=0\,\,\,\)posso porre ad esempio \(b=-c=1\).
\(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}1 & 1 \\-1 & -1 \\\end{matrix} \right)\)
\[\lambda =\frac{a+d}{2}=0\]
\[m=\frac{d-a}{2b}\,\,\Rightarrow m=-1\,\,\,\Rightarrow \,\,posto\,\,x=1\,\,\,\Rightarrow \,\,\mathbf{v}=\left( -1,1 \right)\]
Ponendo ad esempio \(a=2,d=1\,\,\,\Rightarrow \,\,\,{{\left( a-d \right)}^{2}}+4bc=1+4bc=0\,\,\,\)\(b=1\,,\,\,c=-\frac{1}{4}\) .
\(\mathbf{A}=\left( \begin{matrix}2 & 1 \\-\frac{1}{4} & 1 \\ \end{matrix} \right)\)
\(\lambda =\frac{a+d}{2}=\frac{3}{2}\)
\(m=\frac{d-a}{2b}\,\,\Rightarrow m=-\frac{1}{2}\,\,\,\Rightarrow \,\,posto\,\,x=-2\,\,\,\Rightarrow \,\,\mathbf{v}=\left( -2,1 \right)\)
Equazioni differenziali omogenee del primo ordine nxn
\(\mathbf{{v}’}=\mathbf{Av}\)
\(\left\{ \begin{align}& {{x}_{1}}^{\prime }={{a}_{11}}x+…+{{a}_{1n}}y \\& … \\&{{x}_{n}}^{\prime }={{a}_{n1}}x+…+{{a}_{nn}}y \\
\end{align} \right.\)
1. Autovalori reali con molteplicità unitaria: \({{\lambda }_{i}}\) di cui un autovettore associato è \(\mathbf{u}_{{{\lambda }_{i}}}^{{}}\)
Aggiungere nella base della soluzione un vettore del tipo \[{{\mathbf{x}}_{i}}={{e}^{{{\lambda }_{i}}t}}{{\mathbf{u}}_{{{\lambda }_{i}}}}\]
2. Autovalori complessi e coniugati con molteplicità unitaria: \(\lambda =a\pm ib\) , dove \(\mathbf{u}+i\mathbf{v}\) è un autovettore associato a \(a+ib\).
Aggiungere alla base della soluzione un vettore del tipo \[{{\mathbf{x}}_{i}}={{e}^{{{\lambda }_{i}}t}}{{\mathbf{u}}_{{{\lambda }_{i}}}}\]
