Integrali doppi e tripli

Integrali doppi e tripli

IL CAMBIO DI VARIABILE NEGLI INTEGRALI

Sia \(\phi \) una trasformazione invertibile: \(\mathbf{u}=\phi \left( \mathbf{v} \right)=\left( \begin{align} & {{\phi }_{1}}\left( \mathbf{v} \right) & \,\,\,\,\,\vdots  & {{\phi }_{n}}\left( \mathbf{v} \right) \end{align} \right)\)

Il dominio di integrazione di partenza \({{\Omega }_{v}}\)  verrà mappato nel nuovo dominio di integrazione \({{\Omega }_{u}}\). Dove ogni punto \({{\mathbf{u}}_{0}}\) del secondo dominio si trova in corrispondenza di un punto \({{\mathbf{v}}_{0}}\) del primo dominio, e i due punti sono legati fra loro dalla relazione \({{\mathbf{u}}_{0}}=\phi \left( {{\mathbf{v}}_{0}} \right)\).

Nel fare il cambio di variabili bisogna tener conto che ci sarà una deformazione dello spazio, e se ne può tenere conto attraverso il determinante della matrice Jacobiana. \(\int\limits_{{{\Omega }_{\mathbf{u}}}}{f\left( \mathbf{u} \right)\,d{{u}_{1}}d{{u}_{2}}\cdots d{{u}_{n}}}=\)\(\int\limits_{{{\Omega }_{\mathbf{v}}}}{f\left( \phi \left( \mathbf{v} \right) \right)\,\det \mathbf{J}\,\,d{{v}_{1}}d{{v}_{2}}\cdots d{{v}_{n}}}\) Principali trasformazioni da utilizzare:

NEL PIANO (SPAZIO BIDIMENSIONALE)

Passaggio in coordinate polari:

\(\left( \begin{align} & x & y \end{align} \right)\) \(=\left( \begin{align}& \rho\cos\theta &\rho\sin\theta \end{align} \right)\)  , si ha \(\det \mathbf{J}=\rho \)

Passaggio in coordinate ellittiche:

\(\left( \begin{align} & x & y \end{align} \right)\) \(=\left( \begin{align} & a\rho \cos \theta & b\rho \sin \theta \end{align} \right)\) , si ha \(\det \mathbf{J}=ab\rho \)

NELLO SPAZIO (SPAZIO TRIDIMENSIONALE)

Passaggio in coordinate cilindriche:

\(\left( \begin{align} & x & y & z \end{align} \right)\) \( =\left( \begin{align} & \rho \cos \theta & \rho \sin \theta & \,\,\,\,\,\,z \end{align} \right)\) , si ha \(\det \mathbf{J}=\rho \)

Passaggio in coordinate sferiche:

\(\left( \begin{align} & x & y & z \end{align} \right)= \) \(\left( \begin{align} & \rho \cos \theta \sin \phi & \rho \sin \theta \sin \phi & \rho \cos \phi \end{align} \right)\), si ha \(\det \mathbf{J}={{\rho }^{2}}\sin \phi \)

\(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\) \(\phi \in \left[ 0,\pi \right]\) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\rho }^{2}}\) , \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \)

Alcuni esercizi svolti sugli integrali tripli per il calcolo di volumi

CALCOLO DEL BARICENTRO

\({{x}_{A}}=\frac{\int\limits_{S}{x\,dS}}{\int\limits_{S}{\,dS}}\,,\,\,\,{{y}_{A}}=\frac{\int\limits_{S}{y\,dS}}{\int\limits_{S}{\,dS}}\,,\)

Alcuni esercizi svolti sul calcolo di baricentri

TEOREMI DI GULDINO (SOLIDI E SUPERFICI DI ROTAZIONE)

1. L’area della superficie ottenuta ruotando una curva piana \(\gamma \) di un angolo \(\alpha \in \left[ 0,2\pi  \right]\) attorno ad un asse di rotazione ad esso esterno e complanare è pari : \(A=d\cdot \alpha \cdot l\left( \lambda  \right)\) Dove d è la distanza del baricentro dall’asse di rotazione e \(l\left( \lambda  \right)\) è la lunghezza della curva. Rotazione intorno all’asse x \(A=\alpha \int\limits_{\gamma }{x\,dl}\) 2. Il volume di un solido di rotazione \(\Omega \) ottenuto ruotando una figura piana \(K\) di un angolo a\(\alpha \in \left[ 0,2\pi  \right]\) attorno ad un asse di rotazione ad essa esterna e complanare (che giace sullo stesso piano) è pari a: \(V=d\cdot \alpha \cdot A\left( K \right)\) Dove d è la distanza del baricentro dall’asse di rotazione e \(A\left( K \right)\)è l’area della superficie. \(V=\alpha \cdot \iint\limits_{K}{x\,dS}\)

Alcuni esercizi svolti sul teorema di Guldino

Lezioni di Analisi Matematica 2