Integrali tripli

Gli integrali tripli sono uno degli argomenti più difficili per l’esame di analisi matematica 2. La difficoltà maggiore risiede nel saper descrivere l’insieme e nel saper individuare il cambio di variabile che meglio si adatta a semplificare l’insieme di integrazione e la funzione integranda.

Gli integrali tripli sono anche detti integrali di volume, perchè geometricamente l’insieme di integrazione è costituito da un volume. La notazione che si utilizza per rappresentare gli integrali tripli è una sequenza di tre simboli di integrale consecutivi con sotto l’insieme di integrazione:

\[\iiint\limits_{A}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}\]

Talvolta però si utilizza una notazione abbreviata del tipo \(\int\limits_{A}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}\)

In generale gli insiemi di integrazione sono nella forma \(A={(x,y,z) \in \mathbb{R}^3 : rispettano\,certe\,condizioni}\), ovvero l’insieme dei punti (luogo geometrico dei punti) del piano cartesiano tridimensionale \(\mathbb{R}^3\) che rispettano certe condizioni, che sono in generale date sotto forma di diseguaglianze.

In alcuni casi l’insieme di integrazione si riesce a rappresentarlo geometricamente e questo facilita poi la rappresentazione in altri sistemi di coordinate (polari, ellittiche o sferiche).

Significato geometrico

Per comprendere meglio cosa rappresenta un integrale triplo possiamo prendere come esempio l’integrale per il calcolo della massa di un solido. Sia A l’insieme che rappresenta il solido come un insieme di punti dello spazio, e sia \( \rho (x,y,z)\) la fuzione che descrive la densità del solido in ogni punto dello spazio (se un solido è costituito da un materiale omogeneo, la densità è una funzione costante, ma se il solido è composto da un materiale non omogeneo o da più materiali, la densità varia in ogni punto del solido). La massa di un solido può essere calcolata come:

\[\iiint\limits_{A}{\rho\left( x,y,z \right)dxdydz}\]

Immaginiamo di divedere il solido in infiniti piccoli parallelepipedi (volumi elementari), si ha che \(dV=dxdydz\), rappresenta il volume del parallelepipedo.

Volume elementare - integrali tripli - Lezioni di analisi matematica 2

Il volume elementare può essere considerato omogeneo, poichè quest’ultimo è molto piccolo. La sua massa è data dal prodotto tra il volume e la sua densità \(dM=\rho dV\).  Sommando tra di loro tutte le masse elementari, si ottiene la massa del solido.

La somma di tutte le masse elementari è data dall’integrale triplo sull’insieme A (che rappresenta analiticamente il solido) della funzione densità di massa. La somma delle infinite masse elementari si rappresenta matematicamente attraverso l’integrale triplo della funzione densità di massa sull’insieme di integrazione.

Cambio di coordinate negli integrali tripli

In generale un cambio di coordinate per integrali tripli si ottiene attraverso una funzione \(h:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) (a volte chiamata mappa) e rappresentata da:

\(\left\{ \begin{align} & x=h_1({x}’,{y}’,{z}’) \\ & y=h_2({x}’,{y}’,{z}’) \\  & z=h_3({x}’,{y}’,{z}’) \\ \end{align} \right.\)

La matrice Jacobiana è data da:

\(J=\left[\begin{matrix}   \frac{\partial {{h}_{1}}}{\partial x} & \frac{\partial {{h}_{1}}}{\partial y} & \frac{\partial {{h}_{1}}}{\partial z}  \\   \frac{\partial {{h}_{2}}}{\partial x} & \frac{\partial {{h}_{2}}}{\partial y} & \frac{\partial {{h}_{2}}}{\partial z}  \\ \frac{\partial {{h}_{3}}}{\partial x} & \frac{\partial {{h}_{3}}}{\partial y} & \frac{\partial {{h}_{3}}}{\partial z}  \\ \end{matrix}\right]\)

Attraverso questa funzione è possibile passare dal sistema di coordinate \((x,y,z)\) ad un nuovo sistema di coordinate \(({x}’,{y}’,{z}’)\).

Il mappaggio attraverso la funzione \(h\) deve essere essere fatto sia sull’insieme \(A\) che nel nuovo sistema di coordinate diventa \({A}’\), sia sulla funzione che diventa \(f(x,y,z)=f(h_1({x}’,{y}’,{z}’),h_2({x}’,{y}’,{z}’),h_3({x}’,{y}’,{z}’))\), sia sul volume elementare che nel passare da un sistema di riferimento all’altro subisce una deformazione e se ne tiene conto attraverso il modulo del determinante della matrice Jacobiana e si ha \(dxdydz=|detJ|{dx}'{dy}'{dz}’\).

Quindi nel nuovo sistema di coordinate l’integrale triplo diventa:

\(\iiint\limits_{A}{f\left( x,y,z \right)dxdydz}=\iiint\limits_{{A}’}{f(h_1({x}’,{y}’,{z}’),h_2({x}’,{y}’,{z}’),h_3({x}’,{y}’,{z}’))|detJ|{dx}'{dy}'{dz}’}\)

I principlai sistemi di coordinate che si utilizzano per integrali tripli sono le coordinate cilindriche e sferiche.

Coordinate cilindriche

Il passaggio in coordinate cilindriche si ottiene attraverso la funzione:

\(\left\{ \begin{align} & x=\rho \cos \theta  \\ & y=\rho \sin \theta  \\& z=z \\\end{align} \right.\)

con \(\rho \ge 0 \)  e \(\theta \in [0, 2\pi)\)

Il deteminante della matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate è dato da:

\(|detJ|=\rho\)

Le variabili \(\rho\) e \(\theta\) hanno un significato geometrico nel sistema di coordinate \((x,y,z)\)

In particolare \(\rho\) rappresenta la distanza del punto dall’asse z, mentre \(\theta\) misura l’angolo compreso tra l’asse x e la semiretta che parte dall’origine degli assi e passante per la proiezione del punto \(P\) sul piano (x,y).

Per comprendere meglio osserviamo la figura che segue.

Coordinate cilindriche - integrali tripli - lezioni di analisi matematica 2

Coordinate sferiche

Il passaggio in coordinate sferiche si ottiene attraverso la funzione:

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta \sin \phi  \\ & y=\rho \sin \theta \sin \phi  \\ & z=\rho \cos \phi  \\\end{align} \right.\)

con \(\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\) e  \(\phi \in \left[ 0,\pi  \right]\).

Il deteminante della matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate è dato da:

\(|detJ|=\rho^2 \sin \phi\)

Le variabili \(\rho\), \(\theta\)  e \(\phi\) hanno un significato geometrico nel sistema di coordinate \((x,y,z)\)

In particolare la variabile \(\rho\) rappresenta la distanza del punto dall’origine degli assi. La variabile \(\theta\) misura l’angolo compreso tra il semiasse positivo delle x e la semiretta che parte dall’origine degli assi e passante per la proiezione del punto \(P\) sul piano (x,y). La variabile \(\phi\) rappresenta invece l’angolo compreso tra il semiasse positivo delle z e il segmento congiungente l ‘origine degli assi al punto \(P\).

Per comprendere meglio osserviamo la figura che segue.

le tre coordinate nel piano cartesiano tridimensionale

Esercizi sul calcolo dei volumi attraverso gli integrali tripli

L’integrale triplo su un insieme che rappresenta un solido da come risultato il volume del solido.

  • Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \min \left[ 2-{{z}^{2}},z \right] \right\}\)  clicca per leggere la soluzione.
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{y}^{2}}-{{x}^{2}}\le 1,\,\,\,-1\le x\le 1,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\) clicca per leggere la soluzione
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\left( x,y \right)\in T,\,\,\,0\le z\le \frac{x}{x+y} \right\}\) con \(T\) triangolo di vertici \(A=\left( 1,0 \right),B=\left( 0,1 \right),C=\left( 1,2 \right)\) clicca per leggere la soluzione
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,\,\,\,x\le z\le y \right\}\) clicca per leggere la soluzione
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1 \right\}\) clicca per leggere la soluzione
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,\,\,y\le xz \right\}\) clicca per leggere la soluzione
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{z}^{2}}\le y\le x\le z \right\}\) clicca per leggere la soluzione
  • Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le z\le 2y \right\}\) clicca per leggere la soluzione

Esercizi sugli integrali tripli

Calcolare il valore dei seguenti integrali tripli:

  • \(\iiint\limits_{A}{\frac{y}{{{z}^{4}}+1}dxdydz} \), \(A=\left\{(x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,0\le z\le 1,\,\,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},\,\,\,\,z\le x+y \right\}\)  Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{{{\left( y+z \right)}^{2}}dxdydz} \), \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 25,\,\,\,\,z\le x+4,\,\,x\le 1 \right\}\)  Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\left( x+{{z}^{3}}\sin {{y}^{2}} \right)dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,2x\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,\,x\ge 0 \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|x-z|+|y-z|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)  Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{{{z}^{3}}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,0\le z\le 1\,\,,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}},\,\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\,\,\, \right\}\)  Soluzione in coordinate polari , Soluzione in coordinate sferiche (consigliata).
  • \(\iiint\limits_{A}{xzdxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,\,\,x\ge 0,y\ge 0\,\,,-1\le z\le 0\, \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{{{z}^{3}}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge \sqrt{3{{x}^{2}}+3{{y}^{2}}},\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\, \right\}\)Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{|x|dxdydz}\) ,  \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,z\ge {{x}^{2}}\, \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\frac{x}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}dxdydz}\),\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-2y\le 0,x\ge 0,0\le z\le y\le \frac{1}{2}\, \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\, \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},-1\le z\le 2 \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\left| {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right|dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le z\le 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right\}\)  Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\left| z \right|dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,|y|-1\le z\le 1-|x| \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,2{{x}^{2}}-1\le z\le {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right\}\) Vai alla soluzione
  • \(\iiint\limits_{A}{\left( 1+xy \right)dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{z}^{2}}+1\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le z+3 \right\}\) Vai alla soluzione

Qui puoi trovare alri ESERCIZI SVOLTI sugli integrali tripli.

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.