Calcolare il volume dell’insieme
Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{z}^{2}}\le y\le x\le z \right\}\)
Soluzione
Questo volume può essere calcolato integrando per fili.
Come superficie di base si può prendere\({{z}^{2}}\le z\Rightarrow 0\le z\le 1\) e \({{z}^{2}}\le x\le z\). Ciascun filo avrà come base il rettangolo elementare di lati\(dx\) e \(dy\) , e si estenderà in altezza tra \({{f}_{2}}\left( x,y \right)={{z}^{2}}\)e \({{f}_{1}}\left( x,y \right)=x\) cioè \({{z}^{2}}\le y\le x\) .
\(V=\iint\limits_{S}{\left( x-{{z}^{2}} \right)dxdz}=\int\limits_{z=0}^{1}{\int\limits_{x={{z}^{2}}}^{z}{dxdz}}=\)\(\int\limits_{0}^{1}{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2}-{{z}^{2}}x \right]_{{{z}^{2}}}^{z}dz}=\int\limits_{0}^{1}{\left( \frac{{{z}^{2}}}{2}-{{z}^{3}}+\frac{{{z}^{4}}}{2} \right)dz}=\frac{1}{60}\)
Lezioni di Analisi Matematica 2
