Esempio di integrale triplo svolto

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{|x|dxdydz}\) ,  \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,z\ge {{x}^{2}}\, \right\}\)

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Soluzione

In figura si riporta il grafico dell’insieme A su cui dobbiamo integrare. Si tratta di un cilindro tagliato da una superficie parabolica.

Per questo tipo di integrale non facciamo alcun cambio di coordinate ma ci limitiamo a riscrivere meglio l’insieme in coordinate cartesiane.

La funzione integranda \(|x|\)  è una funzione pari e data la simmetria dell’insieme di integrazione, ci permette di integrare solo su metà insieme \({{A}_{1}}\) e moltiplicare il risultato per due.

\(\iiint\limits_{A}{|x|dxdydz}=2\iiint\limits_{{{A}_{1}}}{xdxdydz}\),  \({{A}_{1}}=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,z\ge {{x}^{2}},x\ge 0\, \right\}\)

Partiamo dalla prima espressione:

\({{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \({{z}^{2}}\le 1-{{y}^{2}}\) \(\Rightarrow \) \(z\le \sqrt{1-{{y}^{2}}}\)

Per motivi di dominio (radice quadrata) si ha che:

\(-1\le y\le 1\)

Lo scopo finale è ottenere un insieme dove la prima variabile varia tra due numeri, la seconda variabile tra due funzioni che dipendono al più dalla variabile precedente e una terza variabile compresa tra due funzioni che dipendono dalle altre variabili.

\({{x}^{2}}\le z\le \sqrt{1-{{y}^{2}}}\)  \(\Rightarrow \) \(0\le x\le 1\)

\({{x}^{2}}\le \sqrt{1-{{y}^{2}}}\) \(\Rightarrow \) \(x\le \sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}\)

Per concludere otteniamo l’insieme riscritto in questa forma:

\({{A}_{1}}=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,-1\le y\le 1,\,0\le x\le \sqrt[4]{1-{{y}^{2}}},\,{{x}^{2}}\le z\le \sqrt{1-{{y}^{2}}} \right\}\)

A questo punto torniamo all’integrale e risolviamolo. Si riportano di seguito i vari passaggi.

\(\iiint\limits_{{{A}_{1}}}{xdxdydz}=\) \(\int\limits_{y=-1}^{1}{\int\limits_{x=0}^{\sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}}{x\int\limits_{z={{x}^{2}}}^{\sqrt{1-{{y}^{2}}}}{dz}}dxdy}=\) \(\int\limits_{y=-1}^{1}{\int\limits_{x=0}^{\sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}}{x\left( \sqrt{1-{{y}^{2}}}-{{x}^{2}} \right)}dxdy}=\)  \(\int\limits_{y=-1}^{1}{\sqrt{1-{{y}^{2}}}\int\limits_{x=0}^{\sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}}{x}dxdy}-\int\limits_{y=-1}^{1}{\int\limits_{x=0}^{\sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}}{{{x}^{3}}}dxdy}=\)\(\int\limits_{y=-1}^{1}{\sqrt{1-{{y}^{2}}}\left[ \frac{{{x}^{2}}}{2} \right]_{0}^{\sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}}dy}-\int\limits_{y=-1}^{1}{\left[ \frac{{{x}^{4}}}{4} \right]_{0}^{\sqrt[4]{1-{{y}^{2}}}}dy}=\) \(\int\limits_{y=-1}^{1}{\frac{1-{{y}^{2}}}{2}dy}-\int\limits_{y=-1}^{1}{\frac{1-{{y}^{2}}}{4}dy}=\) \(\frac{1}{4}\int\limits_{y=-1}^{1}{1-{{y}^{2}}dy}=\frac{1}{4}\left[ y-\frac{{{y}^{3}}}{3} \right]_{-1}^{1}=\frac{1}{3}\)

A questo punto ritorniamo all’integrale principale:

\(\iiint\limits_{A}{|x|dxdydz}=2\iiint\limits_{{{A}_{1}}}{xdxdydz}=\frac{2}{3}\)

Possiamo dare il risultato dell’integrale che è \(\frac{2}{3}\). Si conclude così l’esempio di integrale triplo svolto. Continua a navigare sul sito per leggere altri esempi di integrali tripli svolti.

Integrali Tripli

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Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.