esercizi sugli integrali tripli
Esercizio 1
Calcolare \(\int\limits_{C}{z\,dx\,dy\,dz}\,\,\) con
Soluzione
Si tratta del volume compreso tra un cono avente come base la circonferenza che poggia sul piano x,y di raggio unitario e centrata nell’origine e una semisfera di raggio unitario anch’essa centrata nell’origine e adagiata sul piano x,y (cono gelato con un gusto solo).
cono gelato con una palla sola
Proviamo a passare in coordinate cilindriche.\(\left( x,y,z \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z \right)\), si ha che \(0\le \rho \le 1,\,\,0\le \theta \le 2\pi \) e che \(\rho -1\le z\le \sqrt{1-{{\rho }^{2}}}\) .
\(\int\limits_{C}{z\,dx\,dy\,dz}\,\,=\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\int\limits_{z=\rho -1}^{\,\sqrt{1-{{\rho }^{2}}}}{z\rho \,d\rho dz\,d\theta }}}=2\pi \int\limits_{0}^{1}{\rho \left[ \frac{{{z}^{2}}}{2} \right]}_{z=\rho -1}^{\sqrt{1-{{\rho }^{2}}}}d\rho =2\pi \int\limits_{0}^{1}{\left( \rho \frac{1-{{\rho }^{2}}}{2}-\rho \frac{1+{{\rho }^{2}}-2\rho }{2} \right)\,}d\rho =\)
\(2\pi \int\limits_{0}^{1}{{{\rho }^{2}}-{{\rho }^{3}}\,}d\rho =\frac{\pi }{6}\)
Esercizio 2
Calcolare \(\int\limits_{C}{{{z}^{-3}}\,dx\,dy\,dz}\,\,\) con
integrali tripli
integrali tripli
L’insieme \(C\) rappresenta l’intersezione tra un prisma a sezione triangolare ed un prisma a sezione parabolica. Ragionare sul solido generato è piuttosto complicato come d’altronde lo è provare a disegnarlo. E’ piuttosto agevole invece integrare per fili. Si osserva che le condizioni \({{x}^{2}}\le y\le 1\) e \(0\le z-1\le y\) dipendono entrambe da \(y\).
\(x\) è una quantità che varia tra \(-1\) e \(1\), visto che \({{x}^{2}}\le y\le 1\,\,\Rightarrow\=\)\( \,\,{{x}^{2}}\le 1\,\,\Rightarrow\)\( \,\,-1\le x\le -1\).
Esercizio 3
Calcolare \(\int\limits_{C}{\left( {{y}^{3}}+{{z}^{2}} \right)\,dx\,dy\,dz}\,\)con .
Soluzione
Si osserva che prendendo il solido rappresentato dall’insieme \(C\) e sezionandolo a quota \(z\) si ha una circonferenza di centro \(\left( 0,z \right)\) e raggio \(z\).
E’ possibile passare in coordinate cilindriche traslate \(\left( x,y,z \right)=\left(\rho \cos \theta +z,\rho \sin \theta ,z \right)\)
Il determinante della matrice Jacobiana è \(\det \left| \begin{matrix}\cos \theta& \sin \theta \, & 0 \\-\rho \sin \theta & \rho \cos \theta & 0 \\0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right|=\rho \)
L’integrale risulta
Dove si è tenuto conto del fatto che \(\int\limits_{0}^{2\pi }{{{\sin }^{3}}\theta }\,d\theta =0\) perché è l’integrale di una funzione dispari e periodica su un periodo.
Esercizio 4
Calcolare \(\int\limits_{C}{xy\,dx\,dy\,dz}\,\) con .
Soluzione
L’insieme descritto da \(C\) è uno spicco di sfera limitato dai piani \(y=0\) e \(y=x\). Pertanto è possibile descriverlo in coordinate sferiche .
integrali tripli
\(0\le y\le x\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,0\le \theta \le \frac{\pi }{4}\)
Esercizio 5
Calcolare \(\int\limits_{C}{{{y}^{2}}\,\cos \left( x+z \right)dx\,dy\,dz}\,\) con.
Soluzione
L’insieme \(C\) rappresenta tra due solidi normali rispettivamente al piano \(z=0\) e al piano \(y=0\). Ragionare sul solido generato è piuttosto complicato come d’altronde lo è provare a disegnarlo. E’ piuttosto agevole invece integrare per fili.
Facciamo alcune osservazioni: \(0\le z\le \frac{\pi }{2}-x\,\,\Rightarrow \,\,\,x\le \frac{\pi }{2}\) . \(0\le y\le \sqrt[3]{x}\,\,\Rightarrow \,\,\,x\ge 0\) e mettendo insieme queste due limitazioni si ha che \(0\le x\le 1\).
integrali tripli
integrali tripli
dove \(\theta \) è l’angolo misurato rispetto al semiasse positivo delle \(x\) e \(\phi \) è l’angolo misurato rispetto al semiasse positivo delle \(z\) e si ha che la matrice Jacobiana ha determinante\(\det \mathbf{J}={{\rho }^{2}}\sin \phi \).
Si ha in coordinate sferiche \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \). Sostituendo si ha che .
Per quanto riguarda la sfera invece si \(\rho \le 1\) con \(\theta \le \left[ 0,\frac{\pi }{2} \right]\) . In coordinate sferiche è possibile integrare per raggi.
Da cui \(\int\limits_{C}{z\,dx\,dy\,dz}\,\,=\int\limits_{\rho =0}^{1}{\int\limits_{\phi =0}^{2\pi }{\int\limits_{\theta =0}^{\frac{\pi }{2}}{\rho \cos \theta \,{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }}}+\int\limits_{\theta =\frac{\pi }{2}}^{\pi }{\int\limits_{\phi =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{\,\,\frac{1}{\sin \phi +\cos \phi }}{\rho \cos \theta \,{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \,d\rho \,d\phi \,d\theta }}}=\)
Esercizio 6
Calcolare \(\int\limits_{C}{\frac{1}{{{y}^{2}}+1}dxdydz}\,\) con .
Soluzione 1
In coordinate ellittiche
\(x=3\rho \cos \theta ,\,\,\,z=2\rho \cos \theta ,\,\,\,\,y=y,\,\,\,\det \mathbf{J}=3\cdot 2\rho \)
Soluzione 2
Stratificazione. Il volume elementare dello strato \(y\)è \(S(y)\,dy\) , dove \(S\left( y \right)\) è l’area della sezione \(y\) di equazione \[\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( 3\sqrt{y} \right)}^{2}}}+\frac{{{z}^{2}}}{{{\left( 2\sqrt{y} \right)}^{2}}}=1\] e vale \(S\left( y \right)=2\sqrt{y}3\sqrt{y}\pi =6\pi y\)
