Esercizi svolti sul teorema di Guldino
Esercizio 1
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare \(S=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,0\le y\le 1-{{x}^{2}} \right\}\) intorno all’asse \(x\).
solido ottenuto per rotazione di una parabola
Dal teorema di Guldino si ha che il volume del solido è dato da \(V=d\cdot 2\pi \cdot A\left( S \right)\)
Dove \(d\) è la distanza del baricentro dall’asse di rotazione.
In particolare siamo interessati alla coordinata \(d={{y}_{B}}=\frac{\int\limits_{S}{y\,dS}}{\int\limits_{S}{\,dS}}\,=\frac{\int\limits_{S}{y\,dS}}{A\left( S \right)}\) del baricentro. Sostituendo nell’espressione del volume si ha \(V=2\pi \iint\limits_{S}{y\,ds}=2\pi \,\,\int\limits_{x=-1}^{1}{\int\limits_{y=0}^{1-{{x}^{2}}}{y\,dx\,dy}}=2\pi \,\,\int\limits_{x=-1}^{1}{\left[ \frac{{{y}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1-{{x}^{2}}}dx}=\pi \,\,\int\limits_{x=-1}^{1}{\left( 1-2{{x}^{2}}+{{x}^{4}} \right)dx}=\frac{16}{15}\pi \)
Esercizio 2
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare \(S=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 4,\,\,0\le y\le x \right\}\) intorno all’asse \(x\).
teorema di guldino
Il punto di incontro tra la retta e la circonferenza si ha in \(x=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) , che ammette come soluzione positiva \(x=\sqrt{2}\). Quello generato dalla rotazione della retta è un cono di altezza \(\sqrt{2}\) e raggio di base \(\sqrt{2}\) e il suo volume è pari a \({{V}_{cono}}=\frac{1}{3}\pi {{r}^{2}}h=\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi \) . Quello generato invece dalla sfera è una calotta polare di altezza \(h=2-\sqrt{2}\) e detto \(r=2\) il raggio della sfera e il suo volume è pari a \({{V}_{calotta}}=\pi {{h}^{2}}\left( r-\frac{h}{3} \right)=\frac{2}{3}\pi \left( 8-5\sqrt{2} \right)\)
Il volume del solido di rotazione così ottenuto è pari a \(V={{V}_{cono}}+{{V}_{calotta}}=\frac{8}{3}\pi \left( 2-\sqrt{2} \right)\)
Esercizio 3
Calcolare il volume del solido ottenuto facendo ruotare \(S=\left\{ \left( x,y \right)\in {{\mathbb{R}}^{2}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 2y,\,\,y\ge 1 \right\}\) intorno all’asse \(x\).
Si tratta di un solido ottenuto per rotazione intorno all’asse \(x\) della semicirconferenza ottenuta tagliando la circonferenza di centro \(C=\left( 0,1 \right)\)e raggio unitario con una retta orizzontale di equazione \(y=1\).
In questo caso si può sfruttare il teorema di Guldino. Il calcolo del baricentro può essere fatto passando nell’integrale a coordinate polari traslate di \(C=\left( 0,1 \right)\) da cui si ha \(\left( x,y \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta +1 \right)\) .
\(V=2\pi \iint\limits_{S}{y\,ds}=2\pi \int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{\theta =0}^{\pi }{\left( \rho \sin \theta +1 \right)\rho d\rho d\theta }=}2\pi \left[ \frac{{{\rho }^{3}}}{3} \right]_{0}^{1}\left[ -\cos \theta \right]_{0}^{\pi }+2\pi \left[ \theta \right]_{0}^{\pi }\left[ \frac{{{\rho }^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}=\frac{4}{3}\pi +{{\pi }^{2}}\)
