Calcolare il volume dell’insieme
Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{y}^{2}}-{{x}^{2}}\le 1,\,\,\,-1\le x\le 1,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)
Soluzione
Le prime due condizioni \({{y}^{2}}-{{x}^{2}}\le 1,\,\,\,-1\le x\le 1,\) descrivono la superficie compresa tra l’iperbole e le rette di equazione \(x=-1\) e \(x=1\) . La terza condizione \(\,-1\le z\le 1\) è invece indipendente dalle altre 2. Pertanto l’insieme \(E\) è un solido avente sezione costante come quella disegnata in figura e lungo l’asse z va tra -1 e 1. Quindi il volume sarà pari all’area della sezione moltiplicata per l’altezza che quindi \(V=A\cdot \left( 1-0 \right)=A\)
il volume è il solido che si ottiene innalzando la superficie in figura
L’area della sezione è pari a \(A=\int\limits_{x=-1}^{1}{\int\limits_{y=-\sqrt{1+{{x}^{2}}}}^{\sqrt{1+{{x}^{2}}}}{\,dy}\,dx}=\int\limits_{x=-1}^{1}{2\sqrt{1+{{x}^{2}}}\,dx}=\)
\(\begin{align} & =\left[ x\,\sqrt{{{x}^{2}}+1}\,\,+\,\ln \left( x+\sqrt{{{x}^{2}}+1} \right) \right]_{-1}^{1}=2\sqrt{2}+\ln \left( \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}-1} \right)= \\ & =2\sqrt{2}+\ln \left( \frac{{{\left( \sqrt{2}+1 \right)}^{2}}}{\left( \sqrt{2}-1 \right)\left( \sqrt{2}+1 \right)} \right)=2\sqrt{2}+2\ln \left( \sqrt{2}+1 \right)=V \\ \end{align}\)
