Esercizio svolto – Integrale triplo su cilindro tagliato da due piani

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{{{\left( y+z \right)}^{2}}dxdydz},\)

\(\,\,A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 25,\,\,\,\,z\le x+4,\,\,x\le 1 \right\}\)

Continua a leggere l’esercizio svolto – Integrale triplo su cilindro tagliato da due piani.

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Soluzione integrale triplo

Per prima cosa proviamo a capire di cosa si tratta l’insieme di integrazione.

\({{y}^{2}}+{{z}^{2}}=25\) rappresenta l’equazione di un cilindro avente coassiale all’asse x e il minore o uguale sta ad indicare che bisogna prendere la parte interna.

Le equazioni \(x=z\) e \(x=1\) sono due piani che contengono l’asse y. L’insieme A è costituito dalla parte cilindro compresa tra i due piani.

cilindro tagliato da due piani. Grafico tridimensionale dell'insieme di integrazione

Considerato che \({{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 25\) allora si ha che \(-5\le z\le 5\) e inoltre  aggiungendo le altre due condizioni \(\left\{ z\le x+4,\,\,x\le 1 \right\}\) si ha che  \(-5\le z\le 5\), \(z-4\le x\le 1\).

Possiamo scrivere l’integrale triplo con i suoi estremi di integrazione:

\(\int\limits_{z=-5}^{5}{\int\limits_{x=z-4}^{1}{\int\limits_{y=-\sqrt{25-{{z}^{2}}}}^{\sqrt{25-{{z}^{2}}}}{{{(y+z)}^{2}}}}dxdydz}=\)\(\frac{1}{3}\int\limits_{z=-5}^{5}{\left[ {{(z+\sqrt{25-{{z}^{2}}})}^{3}}-{{(z-\sqrt{25-{{z}^{2}}})}^{3}} \right]dz\,\int\limits_{x=z-4}^{1}{dx}}\)

L’integrale più esterno è immediato ed è dato dalla differenza degli estremi.

\(\int\limits_{x=z-4}^{1}{dx}=1-(z-4)=5-z\)

A questo punto otteniamo un integrale nella sola variabile z

\(\frac{1}{3}\int\limits_{z=-5}^{5}{\left( 5-z \right)\left[ {{(z+\sqrt{25-{{z}^{2}}})}^{3}}-{{(z-\sqrt{25-{{z}^{2}}})}^{3}} \right]dz\,}\)

Svolgendo i conti e facendo tutti i passaggi algebrici possiamo riscrivere l’integrale nella forma

\(\int\limits_{z=-5}^{5}{\frac{2}{3}\left( -2{{z}^{3}}+10{{z}^{2}}-25z+125 \right)\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}\)

A questo punto osserviamo che l’intervallo di integrazione è simmetrico e quindi le funzioni dispari hanno integrale nullo, ovvero

\(\int\limits_{z=-5}^{5}{{{z}^{3}}\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}=\)\(\int\limits_{z=-5}^{5}{z\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}=0\)

E quindi l’integrale diventa:

\(\int\limits_{z=-5}^{5}{\frac{2}{3}\left( 10{{z}^{2}}+125 \right)\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}=\) \(\frac{20}{3}\int\limits_{z=-5}^{5}{{{z}^{2}}\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}+\frac{250}{3}\int\limits_{z=-5}^{5}{\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}\)

A questo punto andiamo a risolvere singolarmente i due integrali. Cominciamo dal secondo, possiamo risolverlo facendo una semplice osservazione geometrica, come mostrato in figura, l’integrale \(\int\limits_{z=-5}^{5}{\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}\) rappresenta l’area di una semicirconferenza di raggio R=5, pertanto la suo valore è \(\int\limits_{z=-5}^{5}{\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}=\frac{25}{2}\pi \)

L'integrale viene a coincidere con l'area di una semicirconferenza

Per concludere andiamo a risolvere \(\int\limits_{z=-5}^{5}{{{z}^{2}}\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}\) e possiamo farlo attraverso la sostituzione \(z=5\sin x\) \(\Rightarrow \) \(dz=5\cos x\,dx\)\(\int\limits_{z=-\pi /2}^{\pi /2}{25{{\sin }^{2}}x\cdot \sqrt{25-25{{\sin }^{2}}x}\cdot 5\cos x\cdot dx\,}=\) \(\int\limits_{z=-\pi /2}^{\pi /2}{625{{\sin }^{2}}x\cdot {{\cos }^{2}}x\cdot dx\,}=\) \(\frac{625}{4}\int\limits_{z=-\pi /2}^{\pi /2}{{{\sin }^{2}}\left( 2x \right)\cdot dx\,}=\frac{625}{8}\pi \)

Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è:

\(\frac{20}{3}\int\limits_{z=-5}^{5}{{{z}^{2}}\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}+\frac{250}{3}\int\limits_{z=-5}^{5}{\sqrt{25-{{z}^{2}}}dz\,}=\)\(\frac{20}{3}\cdot \frac{625}{8}\pi +\frac{250}{3}\cdot \frac{25}{2}\pi =\frac{3125}{2}\pi \)

Abbiamo concluso l’esercizio svolto – Integrale triplo su cilindro tagliato da due piani. Spero sia tutto chiaro il procedimento adottato. Continua la navigazione sul sito per provare altri esempi.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.