Esercizio volume di un solido – metodo integrazione per fili

Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\left( x,y \right)\in T,\,\,\,0\le z\le \frac{x}{x+y} \right\}\) con \(T\) triangolo di vertici \(A=\left( 1,0 \right),B=\left( 0,1 \right),C=\left( 1,2 \right)\)

 

Soluzione

integrazione per fili

Si può osservare che \(\frac{x}{x+y}\) è una quantità sempre positiva su \(T\) essendo posizionato nel quadrante in cui \(x>0,y>0\) , quindi c’è intersezione tra\({{f}_{1}}\left( x,y \right)=0\) e \({{f}_{2}}\left( x,y \right)=\frac{x}{x+y}\) lungo tutto il triangolo.

Il volume può essere calcolato integrando per fili, dove ciascun filo è rappresentato da un parallelepipedo di base \(dx\) e \(dy\) e altezza pari alla differenza tra le due funzioni tra cui è compresa la \(z\) . E quindi si ha che \(dV=\left[ {{f}_{2}}\left( x,y \right)-{{f}_{1}}\left( x,y \right) \right]dxdy\) e l’integrale diventa:

\(V=\iint\limits_{T}{dV}=\iint\limits_{T}{\frac{x}{x+y}dxdy}=\int\limits_{x=0}^{1}{\int\limits_{y=1-x}^{1+x}{\frac{x}{x+y}dxdy}}=\int\limits_{x=0}^{1}{\left[ x\ln \left( x+y \right) \right]_{1-x}^{1+x}dx}=\int\limits_{x=0}^{1}{x\ln \left( 1+2x \right)dx}=\frac{3\ln 3}{8}\)

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.