Calcolare il seguente integrale triplo
\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\, \right\}\)
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Soluzione
Il volume compreso tra la superficie di una sfera ed un cono
Riscriviamo meglio l’insieme
\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1-{{z}^{2}}\, \right\}\)
\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \min \left\{ {{z}^{2}},1-{{z}^{2}} \right\}\, \right\}\)
Facciamo un cambio di coordinate per passare dalle cartesiane alle cilindriche
\(\left\{ \begin{align} & x=\rho \cos \theta \\ & y=\rho \sin \theta \\ & z=z \\ \end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(0\le \theta \le 2\pi \) , \(|\det J|=\rho \)
L’insieme nel nuovo sistema di coordinate diventa:
\({A}’=\left\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{\rho }^{2}}\le \min \left\{ {{z}^{2}},1-{{z}^{2}} \right\},\,0\le \theta \le 2\pi \, \right\}\)
A questo punto andiamo all’integrale e facciamo il cambio di coordinate ricordandoci di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.
\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\frac{1}{\rho }\rho d\rho d\theta dz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{d\rho d\theta dz}=\) volume di A’
L’insieme per come è fatto ci impone di spezzare l’integrale nella somma di due integrali.
\(\iiint\limits_{{{A}’}}{d\rho d\theta dz}=\) \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{\sqrt{1-{{z}^{2}}}}{d\rho }dz}d\theta }\)
\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{zdz}=\pi \left[ {{z}^{2}} \right]=\frac{\pi }{2}\)
\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{1-{{z}^{2}}}{d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\sqrt{1-{{z}^{2}}}dz}=\) \(=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-\frac{\pi }{2}\)
\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{\sqrt{1-{{z}^{2}}}}{d\rho }dz}d\theta }=\frac{\pi }{2}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\)
Abbiamo concluso l’Integrale triplo – esercizio svolto. La soluzione dell’integrale triplo è \(\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\). Continua la navigazione sul sito per leggere altri esercizi svolti
