Integrale triplo – esercizio svolto

Calcolare il seguente integrale triplo

\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\, \right\}\)

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Insieme di integrazione - cono + sfera
intersezione tra le funzioni nella variabile z

Soluzione

Il volume compreso tra la superficie di una sfera ed un cono

Riscriviamo meglio l’insieme

\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1-{{z}^{2}}\, \right\}\)

\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \min \left\{ {{z}^{2}},1-{{z}^{2}} \right\}\, \right\}\)

Facciamo un cambio di coordinate per passare dalle cartesiane alle cilindriche

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta  \\  & y=\rho \sin \theta  \\  & z=z \\ \end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(0\le \theta \le 2\pi \) , \(|\det J|=\rho \)

L’insieme nel nuovo sistema di coordinate diventa:

\({A}’=\left\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,{{\rho }^{2}}\le \min \left\{ {{z}^{2}},1-{{z}^{2}} \right\},\,0\le \theta \le 2\pi \, \right\}\)

A questo punto andiamo all’integrale e facciamo il cambio di coordinate ricordandoci di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.

\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}}dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\frac{1}{\rho }\rho d\rho d\theta dz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{d\rho d\theta dz}=\) volume di A’

L’insieme per come è fatto ci impone di spezzare l’integrale nella somma di due integrali.

\(\iiint\limits_{{{A}’}}{d\rho d\theta dz}=\) \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{\sqrt{1-{{z}^{2}}}}{d\rho }dz}d\theta }\)

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{zdz}=\pi \left[ {{z}^{2}} \right]=\frac{\pi }{2}\)

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{1-{{z}^{2}}}{d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\sqrt{1-{{z}^{2}}}dz}=\) \(=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-\frac{\pi }{2}\)

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{1/\sqrt{2}}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=1/\sqrt{2}}^{1}{\int\limits_{\rho =0}^{\sqrt{1-{{z}^{2}}}}{d\rho }dz}d\theta }=\frac{\pi }{2}+\frac{{{\pi }^{2}}}{4}-\frac{\pi }{2}=\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\)

Abbiamo concluso l’Integrale triplo – esercizio svolto. La soluzione dell’integrale triplo è \(\frac{{{\pi }^{2}}}{4}\). Continua la navigazione sul sito per leggere altri esercizi svolti

Integrali Tripli

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