Integrale triplo su un quarto di cilindro

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{xzdxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,\,\,x\ge 0,y\ge 0\,\,,-1\le z\le 0\, \right\}\)

Come vedremo nella soluzione si tratta di integrale triplo su un quarto di cilindro.

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Soluzione

L’insieme di integrazione è costituito da un cilindro tagliato da quattro piani. Come si vede nell’immagine si tratta di uno spicco di cilindro di altezza unitaria e con un’apertura pari a π/2, ovvero esattamente pari ad un quarto di cilindro.

Insieme di integrazione composto da un quarto di cilindroQuesto insieme sembra pensato a posta per essere descritto in coordinate cilindriche e infatti faremo esattamente così.

Per cominciare riportiamo il cambio di coordinate che permette di passare dalle coordinate cartesiane a quelle cilindriche.

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta  \\ & y=\rho \sin \theta  \\ & z=z \\\end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(0\le \theta \le 2\pi \) , \(|\det J|=\rho \)

Cambio di coordinate nell’insieme di integrazione

A questo punto facciamo il cambio di coordinate sull’insieme di integrazione, modificando una alla volta le espressioni che lo caratterizzano. Partiamo dalla disequazione che descrive il cilindro:

\({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \({{\rho }^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \(0\le \rho \le 1\)

La condizione \(\left\{ x\ge 0,y\ge 0 \right\}\) equivale a dire la parte di spazio definita dal primo quadrante del piano cartesiano \((x,y)\). In coordinate cilindriche questo si traduce limitando l’angolo θ nell’intervallo tra 0 e π/2.

\(\left\{ x\ge 0,y\ge 0 \right\}\) \(\Rightarrow \) \(0\le \theta \le \frac{\pi }{2}\)

In coordinate cilindriche l’insieme diventa:

\({A}’=\left\{ \left( \rho ,\theta ,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,-1\le z\le 0,\,\,0\le \theta \le \frac{\pi }{2},\,\,0\le \rho \le 1\, \right\}\)

Si tratta di un insieme normale rispetto a tutte le variabili, perché ognuna varia all’interno di un certo intervallo e sono tutte indipendenti tra loro.

Cambio di coordinate nell’integrale

A questo punto facciamo il cambio di coordinate nell’integrale ricordandoci di moltiplicare per il valore assoluto del determinante della matrice Jacobiana.

\(\iiint\limits_{A}{xzdxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\rho \cos \theta \cdot z\,\rho d\rho d\theta dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{\int\limits_{0}^{\pi /2}{\int\limits_{-1}^{0}{\cos \theta d\theta z{{\rho }^{2}}d\rho dz}=}}\)

Si tratta di un integrale a variabili separabili, che può essere riscritto come il prodotto tra tre integrali indipendenti ciascuno nella propria variabile.

\(\int\limits_{0}^{1}{{{\rho }^{2}}d\rho }\cdot \int\limits_{0}^{\pi /2}{\cos \theta d\theta }\cdot \int\limits_{-1}^{0}{zdz}=\)

Calcoliamo i singoli integrali per poi moltiplicarli tra loro.

\(\int\limits_{0}^{1}{{{\rho }^{2}}d\rho }=\frac{1}{3}\left[ {{\rho }^{3}} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

\(\int\limits_{0}^{\pi /2}{\cos \theta d\theta }=\left[ \sin \theta  \right]_{0}^{\pi /2}=1\)

\(\int\limits_{-1}^{0}{zdz}=\frac{1}{2}\left[ {{z}^{2}} \right]_{-1}^{0}=-\frac{1}{2}\)

Possiamo a questo punto tornare all’integrale principale e darne il risultato.

\(\int\limits_{0}^{1}{{{\rho }^{2}}d\rho }\cdot \int\limits_{0}^{\pi /2}{\cos \theta d\theta }\cdot \int\limits_{-1}^{0}{zdz}=\) \(\frac{1}{3}\cdot 1\cdot \left( -\frac{1}{2} \right)=\) \(-\frac{1}{6}\)

Il risultato dell’integrale è \(\iiint\limits_{A}{xzdxdydz}=-\frac{1}{6}\). Abbiamo concluso l’integrale triplo su un quarto di cilindro. Spero sia risultata chiara tutta la procedura adottata. Continua a navigare sul sito web per leggere altri esempi svolti.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.