Integrale triplo su volume di forma conica

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{\left| {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right|dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le z\le 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right\}\)

Continua a leggere la soluzione dell’ integrale triplo su volume di forma conica.

Soluzione

Il volume è rappresentato da un cono rovesciato, con vertice sull’asse z e a quota z=2 e con asse di simmetria coincidente con asse z.

Integrale triplo su volume di forma conica
aree dove la funzione integranda è positiva

Usiamo per questo integrale triplo un cambio di coordinate da cartesiane a cilindriche,

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta  \\ & y=\rho \sin \theta  \\ & z=z \\\end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(-\pi \le \theta \le \pi \) , \(|\det J|=\rho \)

\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le z\le 2-\sqrt{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right\}\)

L’insieme di integrazione diventa in coordinate cilindriche:

\({A}’=\left\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:0\le z\le 2-\rho ,\,0\le \rho \le 2,-\pi \le \theta \le \pi \, \right\}\)

La funzione integranda è racchiusa all’interno di un valore assoluto, dobbiamo capire dove la funzione integranda è positiva, per capire come dividere l’integrale.

\({{x}^{2}}-{{y}^{2}}\ge 0\) \(\Rightarrow \) \({{y}^{2}}\le {{x}^{2}}\) \(\Rightarrow \) \(-\left| x \right|\le y\le \left| x \right|\)

Soluzione grafica nel piano \(x,y\)

Osserviamo a questo punto che l’insieme di integrazione come la funzione integranda sono formati da quattro blocchi simmetrici. Pertanto, l’integrale può essere calcolato integrando solo sull’insieme di integrazione \({A}”=\left\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:0\le z\le 2-\rho ,\,0\le \rho \le 2,-\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{\pi }{4}\, \right\}\)  e poi moltiplicando il risultato per 4.

\(\iiint\limits_{A}{\left| {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right|dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\left| {{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta  \right|\cdot \rho \cdot d\rho d\theta dz}=\) \(4\cdot \iiint\limits_{{{{A}’}’}}{{{\rho }^{3}}\left( {{\cos }^{2}}\theta -{{\sin }^{2}}\theta  \right)\cdot d\rho d\theta dz}=\)

Applichiamo la formula di duplicazione del coseno nella funzione integranda

\(4\cdot \iiint\limits_{{{{A}’}’}}{{{\rho }^{3}}\cos \left( 2\alpha  \right)\cdot d\rho d\theta dz}=\)

Scriviamo gli estremi di integrazione e calcoliamo il risultato dell’integrale.

\(4\int\limits_{\theta =-\pi /4}^{\pi /4}{\cos \left( 2\alpha  \right)\int\limits_{\rho =0}^{2}{{{\rho }^{3}}\int\limits_{z=0}^{2-\rho }{dz}d\rho }d\theta }=\) \(4\int\limits_{\theta =-\pi /4}^{\pi /4}{\cos \left( 2\alpha  \right)\int\limits_{\rho =0}^{2}{{{\rho }^{3}}\left( 2-\rho  \right)d\rho }d\theta }=\) \(4\int\limits_{\theta =-\pi /4}^{\pi /4}{\cos \left( 2\alpha  \right)d\theta }\cdot \int\limits_{\rho =0}^{2}{2{{\rho }^{3}}-{{\rho }^{4}}d\rho }=\) \(2\left[ \sin \left( 2\alpha  \right) \right]_{-\pi /4}^{\pi /4}\cdot \left[ \frac{1}{2}{{\rho }^{4}}-\frac{1}{5}{{\rho }^{5}} \right]_{0}^{2}=2\cdot 2\cdot \frac{8}{5}=\) \(\frac{32}{5}\)

Possiamo concludere che il risultato dell’integrale è \(\frac{32}{5}\). Continua a navigare sul sito per leggere altri esempi. Abbiamo terminato l’integrale triplo su volume di forma conica.

Integrali Tripli

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