Integrale triplo su volume di forma piramidale

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{\left| z \right|dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,|y|-1\le z\le 1-|x| \right\}\)

Continua a leggere lo svolgimento dell’integrale triplo su volume di forma piramidale.

Ripetizioni di Analisi Matematica con Skype o Hangouts

Ripetizioni di Analisi Matematica svolte da un docente che saprà sciogliere ogni tuo dubbio e aiutarti anche nelle situazioni più complesse!

 

Soluzione

L’insieme di integrazione è rappresentato dall’intersezione tra vari piani. Disegnato, diventa un solido a forma di piramide a base triangolare.

Integrale triplo su volume di forma piramidaleFissando z e riscrivendo x e y in funzione di z, si ottiene che la sezione del solido è un rettangolo.

\(|y|-1\le z\le 1-|x|\)

\(|y|\le z+1\)  \(\Rightarrow \) \(-z-1\le y\le z+1\)

\(|x|\le 1-z\) \(\Rightarrow \) \(z-1\le x\le 1-z\)

sezione del solido

Osservando la figura possiamo dire che si ha intersezione (superficie gialla non vuota) se

\(z+1\ge -z-1\) \(\Rightarrow \) \(z\ge -1\)

\(z-1\le -z+1\) \(\Rightarrow \) \(z\le 1\)

La superficie della sezione è quella di un rettangolo, \(S\left( z \right)=2\left( z+1 \right)2\left( 1-z \right)=4-4{{z}^{2}}\). Assumiamo come volume elementare un parallelepipedo di base \(S(z)\) e altezza \(dz\), sul quale la funzione \(|z|\) è costante.

\(\iiint\limits_{A}{\left| z \right|dxdydz}=\) \(\int\limits_{-1}^{1}{|z|S\left( z \right)dz}=\) \(\int\limits_{-1}^{1}{|z|\left( 4-4{{z}^{2}} \right)dz}=\) (\int\limits_{-1}^{1}{|z|\left( 4-4{{z}^{2}} \right)dz}=\) \(2\int\limits_{0}^{1}{z\left( 4-4{{z}^{2}} \right)dz}=\) \(8\int\limits_{0}^{1}{z-{{z}^{3}}dz}=\) \(8\left[ \frac{{{z}^{2}}}{2}-\frac{{{z}^{4}}}{4} \right]_{0}^{1}=2\)

Abbiamo così risolto l’integrale triplo con il metodo della stratificazione. Il risultato dell’integrale è 2. Si conclude così lo svolgimento dell’integrale triplo su volume di forma piramidale. Continua a navigare sul sito per leggere altri esercizi svolti.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.