Integrale triplo svolto con coordinate sferiche

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{{{z}^{3}}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,0\le z\le 1\,\,,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}},\,\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\,\,\, \right\}\)

Continua a leggere la soluzione dell’Integrale triplo svolto con coordinate sferiche.

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Rappresentazione dell’insieme di integrazione

L’insieme di integrazione è rappresentato da un cono e due sfere concentriche centrate nell’origine degli assi. Un insieme di questo tipo si rappresenta molto bene attraverso le coordinate sferiche e ora vedremo come fare .

l'insieme di integrazione è rappresentato da un solido avente come bordi due calotte sferiche e un tronco di cono

Passaggio in coordinate sferiche

\(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,0\le z\le 1\,\,,\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}},\,\,\frac{1}{4}-{{z}^{2}}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1-{{z}^{2}}\,\,\, \right\}\)

Come prima cosa, riscrivere l’insieme di integrazione utilizzando le coorinate sferiche, rappresentate dalle seguenti relazioni:

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta \sin \phi  \\ & y=\rho \sin \theta \sin \phi  \\ & z=\rho \cos \phi  \\\end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(0\le \theta \le 2\pi\) , \(0\le \phi \le \pi \), \(|\det J|={{\rho }^{2}}\sin \phi \)

Relazioni utili: \(\sin \phi \ge 0\) \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{\rho }^{2}}\) , \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}={{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \)

A questo punto riscriviamo l’insieme in coordinate sferiche. L’insieme A è descritto tramite due relazioni. La prima relazione \(\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\) rappresenta geometricamente il volume compreso tra una sfera di raggio \({{R}_{1}}=\frac{1}{2}\) e una di raggio \({{R}_{2}}=1\) entrambe centrate nell’origine degli assi. La relazione in coordinate sferiche diventa:

\(\,\frac{1}{4}\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \(\,\frac{1}{4}\le {{\rho }^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow\) \(\,\frac{1}{2}\le \rho \le 1\)

La seconda relazione\(\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}}\) rappresenta la parte interna di un cono con vertice nell’origine degli assi ed asse di simmetria coincidente con l’asse z. Passando in coordinate sferiche si ha:

\(\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 5{{z}^{2}}\) \(\Rightarrow \) \({{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\phi \le 5{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\phi \) \(\Rightarrow \) \(\frac{{{\sin }^{2}}\phi }{{{\cos }^{2}}\phi }\le 5\) \(\Rightarrow \) \(\frac{1-{{\cos }^{2}}\phi }{{{\cos }^{2}}\phi }\le 5\) \(\Rightarrow \) \(\frac{1-{{\cos }^{2}}\phi }{{{\cos }^{2}}\phi }\le 5\) \(\Rightarrow \)

\(6{{\cos }^{2}}\phi \ge 1\) \(\Rightarrow \) \(0\le \phi \le {{\cos }^{-1}}\frac{1}{\sqrt{6}}\)

A questo punto abbiamo ottenuto condizioni sulle variabili ρ e φ, mentre non abbiamo nessuna limitazione sulla variabile θ, che perciò resta limitata dalle condizioni imposte dal cambio di coordinate stesso \(0\le \theta \le 2\pi \). L’ultima condizione sta ad indicare che si tratta di un solido di rotazione intorno all’asse z.

Riscriviamo quindi l’insieme A in coordinate sferiche:

\({A}’=\left\{ \left( \rho ,\theta ,\phi \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,0\le \theta \le 2\pi ,0\le \phi \le {{\cos }^{-1}}\frac{1}{\sqrt{6}},\,\frac{1}{2}\le \rho \le 1 \right\}\)

Soluzione dell’integrale triplo

Facciamo il cambio di coordinate nell’integrale triplo, ricordando di moltiplicare la funzione integranda per il valore assoluto del determinante della matrice Jacobiana:

\(\iiint\limits_{A}{\frac{1}{{{z}^{3}}}dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\frac{1}{{{\rho }^{3}}{{\cos }^{3}}\phi }{{\rho }^{2}}\sin \phi d\rho d\theta d\phi }=\)

Facciamo il cambio negli estremi di integrazione e si ha che l’insieme di integrazione diventa normale rispetto a tutte le variabili.

\(\int\limits_{\rho =1/2}^{1}{\frac{1}{\rho }\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\phi =0}^{{{\cos }^{-1}}\left( 1/\sqrt{6} \right)}{{{\cos }^{-3}}\phi \sin \phi \cdot d\phi }d\theta }d\rho }\)

Si tratta di un integrale a variabili separabili e quindi può essere scritto come il prodotto tra tre integrali di una sola variabile.

\(\int\limits_{\rho =1/2}^{1}{\frac{1}{\rho }d\rho }\cdot \int\limits_{\phi =0}^{{{\cos }^{-1}}\left( 1/\sqrt{6} \right)}{{{\cos }^{-3}}\phi \sin \phi \cdot d\phi }\,\cdot \int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{d\theta }\)

Calcoliamo le tre primitive che risultano tutte immediate e calcoliamo infine il risultato dell’integrale.

\(\left[ \frac{1}{2}{{\left( \cos \phi  \right)}^{-2}} \right]_{0}^{{{\cos }^{-1}}\left( 1/\sqrt{6} \right)}\cdot \left[ \theta  \right]_{0}^{2\pi }\,\cdot \left[ \ln \rho  \right]_{1/2}^{1}=\frac{6-1}{2}\cdot 2\pi \cdot \ln 2=5\cdot \pi \cdot \ln 2\)

Siamo quindi arrivati alla soluzione dell’integrale che vale  \(5\pi \log 2\) .

Abbiamo concluso l’ Integrale triplo svolto con coordinate sferiche. Vale la pena osservare che la soluzione di questo integrale  è molto più sbrigativa ed elegante in coordinate sferiche piuttosto che in coordinate polari.

Soluzione in coordinate polari

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.