Integrale triplo svolto in coordinate polari

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,2{{x}^{2}}-1\le z\le {{x}^{2}}-{{y}^{2}} \right\}\)

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Soluzione

La sezione del solido rappresentato dall’insieme di integrazione, ottenuta fissando z è una superficie compresa tra una parabola ed un’iperbole. Il solido è rappresentato nella seguente figura.

Usiamo il cambio di coordinate che ci fa andare dalle cartesiane alle coordinate cilindriche.

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta  \\ & y=\rho \sin \theta  \\ & z=z \\ \end{align} \right.\) ,\(\rho \ge 0\) ,\(0\le \theta \le 2\pi \) , \(|\det J|=\rho \)

Passaggio in coordinate cilindriche per l’insieme di integrazione

Facciamo il cambio di variabili nelle espressioni che descrivono l’insieme A.

\(\,2{{x}^{2}}-1\le {{x}^{2}}-{{y}^{2}}\) \(\Rightarrow \) \(\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \({{\rho }^{2}}\le 1\) \(\Rightarrow \) \(0\le \rho \le 1\)

\(2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1\le z\le {{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \) \(\Rightarrow \) \(2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1\le z\le {{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -{{\rho }^{2}}{{\sin }^{2}}\theta \) \(\Rightarrow \) \(2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1\le z\le {{\rho }^{2}}\cos \left( 2\theta  \right)\)

Per quanto riguarda θ non ci sono condizioni e quindi resta limitato tra 0 e 2π.

Dopo aver fatto i passaggi algebrici si ottiene l’insieme A in coordinate polari:

\({A}’=\left\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:0\le z\le 2-\rho ,\,0\le \rho \le 2,0\le \theta \le 2\pi \, \right\}\)

Passaggio in coordinate cilindriche nell’integrale

Facciamo il cambio di coordinate nell’integrale triplo ricordandoci di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{z\cdot \rho \cdot d\rho d\theta dz}=\)

Inseriamo gli estremi di integrazione nell’integrale triplo.

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\rho \int\limits_{z=2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta }^{{{\rho }^{2}}\cos 2\theta }{z\cdot dz}d\rho }d\theta }=\) \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\rho \left[ \frac{{{z}^{2}}}{2} \right]_{2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta }^{{{\rho }^{2}}\cos 2\theta }d\rho }d\theta }=\) \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{\rho =0}^{1}{\rho \left[ \frac{{{\rho }^{4}}{{\cos }^{2}}\left( 2\theta  \right)}{2}-\frac{4{{\rho }^{4}}{{\cos }^{4}}\theta }{2} \right]_{{}}^{{}}d\rho }d\theta }=\) \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{{{\cos }^{2}}\left( 2\theta  \right)-4{{\cos }^{4}}\theta d\theta \,}\,\cdot \int\limits_{\rho =0}^{1}{\frac{{{\rho }^{5}}}{2}d\rho }=\)

Abbiamo ottenuto il prodotto di due integrali in una variabile.

\(\int\limits_{\rho =0}^{1}{\frac{{{\rho }^{5}}}{2}d\rho }=\left[ \frac{{{\rho }^{6}}}{12} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{12}\)

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{{{\cos }^{2}}\left( 2\theta  \right)-4{{\cos }^{4}}\theta d\theta \,}=-2\pi \)

A questo punto moltiplicando i due risultati ottenuti otteniamo la soluzione dell’integrale triplo svolto in coordinate polari.

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=\) \(-2\pi \cdot \frac{1}{12}=-\frac{\pi }{6}\)

La soluzione dell’integrale triplo svolto in coordinate polari è \(-\frac{\pi }{6}\). Continua a navigare sul sito per leggere altri esercizi svolti.

Approfondimento

Può essere un esercizio utile provare a parametrizzare la superficie laterale dell’insieme di integrazione A.

Si riporta una possibile soluzione.

\({{\Sigma }_{1}}=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,2{{\rho }^{2}}{{\cos }^{2}}\theta -1 \right)\) , \(0\le \theta \le 2\pi \), \(0\le \rho \le 1\)

\({{\Sigma }_{2}}=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,{{\rho }^{2}}\cos 2\theta  \right)\) , \(0\le \theta \le 2\pi \), \(0\le \rho \le 1\)

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.