Integrale triplo svolto

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}\) , \(A=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le {{z}^{2}},-1\le z\le 2 \right\}\)

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Soluzione

L’insieme di integrazione è dato dal volume compreso tra due falde di un cono limitate dai piani z=2 e z=-1.

Per lo svolgimento di questo integrale facciamo il passaggio in coordinate cilindriche.

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta  \\ & y=\rho \sin \theta  \\ & z=z \\\end{align} \right.\) ,\(\rho \ge \) ,\(0\le \theta \le 2\pi \) , \(|\det J|=\rho \)

L’insieme in coordinate cilindriche diventa:

\({A}’=\left\{ (\rho ,\theta ,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,z\ge 0,\rho \le \left| z \right|,-1\le z\le 2,\,0\le \theta \le 2\pi \, \right\}\)

Passaggio a coordinate cilindriche nell’integrale

Facciamo il cambio di coordinate nell’integrale ricordando di moltiplicare la funzione integranda per il modulo del determinante della matrice Jacobiana.

\(\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}=\) \(\iiint\limits_{{{A}’}}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho d\theta dz}=\)

Per tener conto del modulo della z nella funzione integranda è necessario spezzare l’integrale triplo nella somma di due integrali.

\(\iiint\limits_{{{A}’}}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho d\theta dz}=\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho }dz}d\theta }\)

Risolviamo gli integrali singolarmente, spezzandoli a loro volta nella somma di due integrali tripli.

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho }dz}d\theta }=\) \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{z}{\rho d\rho }dz}d\theta }\)

Risolviamo il primo integrale triplo

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{\int\limits_{\rho =0}^{z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\left[ \frac{{{\rho }^{4}}}{4} \right]_{0}^{2}dz}=\) \(2\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\frac{{{z}^{4}}}{4}dz}=\) \(\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=\) \(\pi \left[ \frac{{{z}^{5}}}{10} \right]_{0}^{2}=\frac{16}{5}\pi \)

Risolviamo il secondo.

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=0}^{2}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{z}{\rho d\rho }dz}d\theta }=\) \(\pi \int\limits_{z=0}^{2}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=\) \(\pi \int\limits_{z=0}^{2}{{{z}^{4}}dz}=\) \(\pi \left[ \frac{{{z}^{5}}}{5} \right]_{0}^{2}=\) \(\frac{32}{5}\pi \)

Spezziamo l’integrale triplo \(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho }dz}d\theta }\) nella somma di due integrali tripli.

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\left( {{\rho }^{2}}+{{z}^{2}} \right)\rho d\rho }dz}d\theta }=\)

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }+\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\rho d\rho }dz}d\theta }\)
Risolviamo il primo integrale triplo.

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{\int\limits_{\rho =0}^{-z}{{{\rho }^{3}}d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\left[ \frac{{{\rho }^{4}}}{4} \right]_{0}^{-z}dz}=\) \(2\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\frac{{{z}^{4}}}{4}dz}=\) \(\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=\) \(\pi \left[ \frac{{{z}^{5}}}{10} \right]_{-1}^{0}=\frac{1}{10}\pi \)

Risolviamo il secondo integrale triplo.

\(\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z=-1}^{0}{{{z}^{2}}\int\limits_{\rho =0}^{-z}{\rho d\rho }dz}d\theta }=\) \(2\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{\frac{{{z}^{4}}}{2}dz}=\) \(\pi \int\limits_{z=-1}^{0}{{{z}^{4}}dz}=\) \(\pi \left[ \frac{{{z}^{5}}}{5} \right]_{-1}^{0}=\) \(\frac{1}{5}\pi \)

Sommiamo i quattro risultati che ci sono venuti e otteniamo così il risultato finale.

\(\iiint\limits_{A}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}dxdydz}=\) \(\frac{16}{5}\pi +\frac{32}{5}\pi +\frac{1}{10}\pi +\frac{1}{5}\pi =\frac{99}{100}\pi \)

Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è \(\frac{99}{100}\pi \) . Abbiamo concluso l’integrale triplo svolto. Continua a navigare nel sito per leggere altri esercizi svolti.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.