Integrale Triplo – Cambio coordinate e Matrice Jacobiana

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}\) , \({A}’=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|r|+|s|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)

Continua a leggere lo svolgimento integrale triplo.

 

Svolgimento integrale triplo

Per prima cosa facciamo un cambio di coordinate lineare in modo da rendere più semplice la descrizione dell’insieme.

\(\left\{ \begin{align}  & x-z=r \\ & y-z=s \\ & z=z \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & x=r+z \\ & y=s+z \\ & z=z \\\end{align} \right.\)

La matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate vale:

\(J=\left[ \begin{matrix}   1 & 0 & 1  \\   0 & 1 & 1  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]\)

Il modulo del determinante della matrice Jacobiana vale uno \(|\det J|=1\). L’insieme A nel nuovo sistema di coordinate è dato da:

\({A}’=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|r|+|s|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)

Osserviamo che la sezione del solido \({A}’\) con z fissato è un quadrato avente diagonale \(D=2+2z\)  come rappresentato in figura, rappresentato dalla disequazione \(|r|+|s|\le 1+z\).

Sezione del solido (ottenuta fissando z) quadrataPoiché la sezione quadrata è ottenuta fissando z, si ha che la funzione integranda \(f(x,y,z)=z\) è costante su tutta la superficie del quadrato. Possiamo pertanto scegliere come volume elementare il parallelepipedo avente come base il quadrato giallo rappresentato in figura e come altezza dz e si ha quindi \(dV=S(z)dz\), dove S(z) rappresenta la superficie del quadrato. Essa può essere calcolata a partire dalla diagonale attraverso la formula \(S\left( z \right)=\frac{{{D}^{2}}}{2}=2{{(1+z)}^{2}}\) . L’integrale quindi diventa:

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=\) \(\iiint\limits_{A}{zdV}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{zS(z)dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{z\cdot 2{{(1+z)}^{2}}dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{2z(1+{{z}^{2}}+2z)dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{2z+2{{z}^{3}}+4{{z}^{2}}dz}=\) \(\left[ {{z}^{2}}+\frac{1}{2}{{z}^{4}}+\frac{4}{3}{{z}^{3}} \right]_{0}^{1}=\frac{17}{6}\)

Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è \(\frac{17}{6}\):

Abbiamo concluso lo svolgimento integrale triplo. Spero sia tutto chiaro il procedimento adottato. Continua la navigazione sul sito per provare altri esempi.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.