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Integrale Triplo – Cambio coordinate e Matrice Jacobiana

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}\) , \({A}’=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|r|+|s|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)

Continua a leggere lo svolgimento integrale triplo.

Sezione del solido (ottenuta fissando z) quadrata

Svolgimento integrale triplo

Per prima cosa facciamo un cambio di coordinate lineare in modo da rendere più semplice la descrizione dell’insieme.

\(\left\{ \begin{align}  & x-z=r \\ & y-z=s \\ & z=z \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align}  & x=r+z \\ & y=s+z \\ & z=z \\\end{align} \right.\)

La matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate vale:

\(J=\left[ \begin{matrix}   1 & 0 & 1  \\   0 & 1 & 1  \\   0 & 0 & 1  \\\end{matrix} \right]\)

Il modulo del determinante della matrice Jacobiana vale uno \(|\det J|=1\). L’insieme A nel nuovo sistema di coordinate è dato da:

\({A}’=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|r|+|s|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)

Osserviamo che la sezione del solido \({A}’\) con z fissato è un quadrato avente diagonale \(D=2+2z\)  come rappresentato in figura, rappresentato dalla disequazione \(|r|+|s|\le 1+z\).

Poiché la sezione quadrata è ottenuta fissando z, si ha che la funzione integranda \(f(x,y,z)=z\) è costante su tutta la superficie del quadrato. Possiamo pertanto scegliere come volume elementare il parallelepipedo avente come base il quadrato giallo rappresentato in figura e come altezza dz e si ha quindi \(dV=S(z)dz\), dove S(z) rappresenta la superficie del quadrato. Essa può essere calcolata a partire dalla diagonale attraverso la formula \(S\left( z \right)=\frac{{{D}^{2}}}{2}=2{{(1+z)}^{2}}\) . L’integrale quindi diventa:

\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=\) \(\iiint\limits_{A}{zdV}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{zS(z)dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{z\cdot 2{{(1+z)}^{2}}dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{2z(1+{{z}^{2}}+2z)dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{2z+2{{z}^{3}}+4{{z}^{2}}dz}=\) \(\left[ {{z}^{2}}+\frac{1}{2}{{z}^{4}}+\frac{4}{3}{{z}^{3}} \right]_{0}^{1}=\frac{17}{6}\)

Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è \(\frac{17}{6}\):

Abbiamo concluso lo svolgimento integrale triplo. Spero sia tutto chiaro il procedimento adottato. Continua la navigazione sul sito per provare altri esempi.

Integrali Tripli

Lezioni di Analisi Matematica 2