Calcolare il seguente integrale triplo:
\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}\) , \({A}’=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|r|+|s|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)
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Svolgimento integrale triplo
Per prima cosa facciamo un cambio di coordinate lineare in modo da rendere più semplice la descrizione dell’insieme.
\(\left\{ \begin{align} & x-z=r \\ & y-z=s \\ & z=z \\\end{align} \right.\) \(\Rightarrow \) \(\left\{ \begin{align} & x=r+z \\ & y=s+z \\ & z=z \\\end{align} \right.\)
La matrice Jacobiana per questo cambio di coordinate vale:
\(J=\left[ \begin{matrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \\\end{matrix} \right]\)
Il modulo del determinante della matrice Jacobiana vale uno \(|\det J|=1\). L’insieme A nel nuovo sistema di coordinate è dato da:
\({A}’=\left\{ (x,y,z)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,\,|r|+|s|\le 1+z,\,\,\,\,0\le z\le 1 \right\}\)
Osserviamo che la sezione del solido \({A}’\) con z fissato è un quadrato avente diagonale \(D=2+2z\) come rappresentato in figura, rappresentato dalla disequazione \(|r|+|s|\le 1+z\).
Poiché la sezione quadrata è ottenuta fissando z, si ha che la funzione integranda \(f(x,y,z)=z\) è costante su tutta la superficie del quadrato. Possiamo pertanto scegliere come volume elementare il parallelepipedo avente come base il quadrato giallo rappresentato in figura e come altezza dz e si ha quindi \(dV=S(z)dz\), dove S(z) rappresenta la superficie del quadrato. Essa può essere calcolata a partire dalla diagonale attraverso la formula \(S\left( z \right)=\frac{{{D}^{2}}}{2}=2{{(1+z)}^{2}}\) . L’integrale quindi diventa:
\(\iiint\limits_{A}{zdxdydz}=\) \(\iiint\limits_{A}{zdV}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{zS(z)dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{z\cdot 2{{(1+z)}^{2}}dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{2z(1+{{z}^{2}}+2z)dz}=\) \(\int\limits_{0}^{1}{2z+2{{z}^{3}}+4{{z}^{2}}dz}=\) \(\left[ {{z}^{2}}+\frac{1}{2}{{z}^{4}}+\frac{4}{3}{{z}^{3}} \right]_{0}^{1}=\frac{17}{6}\)
Possiamo concludere che il risultato dell’integrale triplo è \(\frac{17}{6}\):
Abbiamo concluso lo svolgimento integrale triplo. Spero sia tutto chiaro il procedimento adottato. Continua la navigazione sul sito per provare altri esempi.
