Calcolare il volume dell’insieme
Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,\,\,{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1 \right\}\)
Soluzione
Si tratta del volume compreso tra due cilindri aventi come base una circonferenza di raggio unitario e come assi di simmetria rispettivamente l’asse y e l’asse x.
intersezione tra due cilindri
Invertendo le disuguaglianze si ha \(-\sqrt{1-{{z}^{2}}}\le x\le \sqrt{1-{{z}^{2}}}\) e \(-\sqrt{1-{{z}^{2}}}\le y\le \sqrt{1-{{z}^{2}}}\). Si osserva che tagliando il solido parallelamente rispetto al piano \(z=0\), essendo \(x\) e \(y\) indipendenti l’uno dall’altro ed avendo entrambi le stesse limitazioni, il solido presenta una sezione quadrata. Pertanto l’integrale può essere calcolato per strati sezionandolo parallelamente al piano formato dagli assi x e y, ottenendo così volumi elementari dove la base è un quadrato di lato \(2\sqrt{1-{{z}^{2}}}\) e altezza pari a \(dz\), quindi \(dV=A\left( z \right)dz=4\left( 1-{{z}^{2}} \right)dz\).
\(V=\int\limits_{-1}^{1}{4\left( 1-{{z}^{2}} \right)dz}=\left[ z-\frac{{{z}^{3}}}{3} \right]_{-1}^{1}=8-\frac{8}{3}=\frac{16}{3}\)
