Volume di un solido a sezione fissata – integrale triplo svolto

Calcolare il volume dell’insieme\(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,0\le z\le 1,\,\,0\le y\le {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right\}\)

Soluzione

Questo volume può essere calcolato per strati. Si osserva che fissato \(z\) la sezione \(S\) del solido è la superficie compresa tra la parabola di vertice \(V=\left( 0,{{z}^{2}} \right)\) e simmetrica rispetto all’ordinata e la retta di equazione \(y=0\). Il volume elementare è il solido avente sezione \(S\)ed area pari \(A\left( z \right)\) e altezza pari a \(dz\)e il suo volume è dato da \(dV=A\left( z \right)dz\).

superficie compresa tra l’ascissa e la parabola

Per cui \(V=\int\limits_{0}^{1}{A\left( z \right)dz}\) dove \(A\left( z \right)=\iint\limits_{S}{dxdy}=\int\limits_{x=-z}^{z}{\int\limits_{y=0}^{{{z}^{2}}-{{x}^{2}}}{dy\,dx}=\int\limits_{x=-z}^{z}{\left( {{z}^{2}}-{{x}^{2}} \right)dx}}=\left[ {{z}^{2}}x-\frac{{{x}^{3}}}{3} \right]_{-z}^{z}=\frac{4{{z}^{3}}}{3}\)

Ed infine si ha che il volume è \(V=\frac{4}{3}\int\limits_{0}^{1}{{{z}^{3}}dz}=\left[ \frac{{{z}^{4}}}{3} \right]_{0}^{1}=\frac{1}{3}\)

Integrali Tripli

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