Volume di un solido a sezione iperbolica – integrale triplo

Calcolare il volume dell’insieme

Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le z\le 2y \right\}\)

Soluzione

Si tratta del volume compreso tra un paraboloide e un piano. L’intersezione tra le due figure proiettata sul piano x,y è data da \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}=2y\)che rappresenta una circonferenza centrata nel punto \(C=\left( 0,1 \right)\) e raggio unitario. Per descrivere l’insieme di base è possibile passare ad un sistema di coordinate cilindriche traslato di \(C\) rispetto all’origine \(\left( x,y,z \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta +1,z \right)\), da cui l’insieme di base diventa \(0\le \rho \le 1,\,\,0\le \theta \le 2\pi \) , mentre per quanto riguarda \(z\) si ha che \({{\rho }^{2}}+2\rho \sin \theta +1\le z\le 2\rho \sin \theta +2\). Il volume che si ottiene è dato da:

\(V=\iiint\limits_{E}{dxdydz}=\int\limits_{\rho =0}^{1}{\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\int\limits_{z={{\rho }^{2}}+2\rho \sin \theta +1}^{2\rho \sin \theta +2}{\rho \,d\rho d\theta }dz}}=\)\(\int\limits_{\rho =0}^{1}{\int\limits_{\theta =0}^{2\pi }{\left( 1-{{\rho }^{2}} \right)\rho d\rho d\theta }}=2\pi \left[ \frac{{{\rho }^{2}}}{2}-\frac{{{\rho }^{4}}}{4} \right]_{0}^{1}=\frac{\pi }{2}\)

Integrali Tripli

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