Calcolare il volume dell’insieme
Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le \min \left[ 2-{{z}^{2}},z \right] \right\}\) .
Soluzione
Si osserva come prima cosa \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\ge 0\) lungo tutto il piano di base.
E inoltre la funzione \(f\left( z \right)=\min \left[ 2-{{z}^{2}},z \right]\) può essere studiata graficamente:
Con riferimento alla figura si ha che \(f\left( z \right)\) è rappresentato dalla curva rossa e quindi si può scrivere
\(f\left( z \right)=\left\{ \begin{align} & 2-{{z}^{2}}\,\,\,se\,\,z<-2\vee z>1\, \\ & z\,\,\,\,se\,\,-2\le z\le 1 \\ \end{align} \right.\)
Aggiungendo quindi la limitazione inferiore la condizione diventa \(0\le {{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le f\left( z \right)\), che fissato \(z\) rappresenta l’interno di una circonferenza di raggio \(\sqrt{f\left( z \right)}\) .
L’intersezione si ha soltanto nella regione in cui \(f\left( z \right)>0\) quindi \(z\in \left[ 0,\sqrt{2} \right]\).
L’integrale può essere calcolato per strati dove ciascuno strato è rappresentato da un cilindro di raggio \(\sqrt{f\left( z \right)}\) e altezza \(dz\) il cui volume è pari a \(dV=\pi f\left( z \right)dz\) , per cui l’integrale diventa:
\(V=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{dV}=\int\limits_{0}^{\sqrt{2}}{\pi f\left( z \right)dz}=\pi \int\limits_{0}^{1}{z\,\,dz}+\pi \int\limits_{1}^{\sqrt{2}}{\left( 2-{{z}^{2}}\, \right)\,dz}=\pi \left[ \frac{{{z}^{2}}}{2} \right]_{0}^{1}+\pi \left[ 2z-\frac{{{z}^{3}}}{3} \right]_{1}^{\sqrt{2}}=\frac{8\sqrt{2}-7}{6}\pi \)
Lezioni di Analisi Matematica 2
