Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:{{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1,\,\,\,x\le z\le y \right\}\)
In coordinate polari l’insieme diventa \(0\le \rho \le 1\) , \(\rho \cos \theta \le z\le \rho \sin \theta \)
Bisogna verificare se ci sono limitazioni sull’angolo. Per fare ciò bisogna verificare per quali valori di \(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\) risulta \(\cos \theta <\sin \theta \) . La disuguaglianza è verificata per \(\frac{\pi }{4}\le \theta \le \frac{5}{4}\pi \) .
L’integrale diventa quindi:
\(\iiint\limits_{V}{dxdydz}=\int\limits_{\rho =0}^{1}{\int\limits_{\theta =\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}{\int\limits_{z=\rho \cos \theta }^{\rho \sin \theta }{\rho \,\,d\rho d\theta dz}}}=\int\limits_{\rho =0}^{1}{\int\limits_{\theta =\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}{\rho \left( \sin \theta -\cos \theta \right)\rho \,\,d\rho \,d\theta }}=\)
\(\left[ \frac{{{\rho }^{3}}}{3} \right]_{0}^{1}\left[ -\cos \theta -\sin \theta \right]_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{5\pi }{4}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}\)
