Calcolare il volume dell’insieme
Calcolare il volume dell’insieme \(E=\left\{ \left( x,y,z \right)\in {{\mathbb{R}}^{3}}:\,\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}\le 1,\,\,y\le xz \right\}\)
Soluzione
Si osserva che sezionando il solido a quota z si ha che \({{x}^{2}}+{{y}^{2}}\le 1-{{z}^{2}}\) che rappresenta l’interno di una circonferenza di raggio \(\sqrt{1-{{z}^{2}}}\) e \(y\le xz\) che rappresenta il semipiano sottostante una retta passante per l’origine. L’intersezione tra le due regioni di piano fanno si che la sezione del solido ottenuta tagliandolo in maniera trasversale rispetto all’asse \(z\)sia una semicirconferenza. Il volume può essere calcolato per strati, dove ciascuno strato è costituito da un semicilindro di altezza \(dz\) e area \(A\left( z \right)=\frac{1}{2}\pi {{\left[ r\left( z \right) \right]}^{2}}=\frac{1}{2}\pi \left( 1-{{z}^{2}} \right)\) , e quindi il volume elementare è pari a \(dV=\frac{1}{2}\pi \left( 1-{{z}^{2}} \right)dz\).
sezione del solido
\(V=\int\limits_{-1}^{1}{dV}=\int\limits_{-1}^{1}{\frac{1}{2}\pi \left( 1-{{z}^{2}} \right)dz}=\frac{1}{2}\pi \left[ z-\frac{{{z}^{3}}}{3} \right]_{-1}^{1}=\frac{2}{3}\pi \)
