Funzione che tende ad un limite finito
Consideriamo un insieme \(A\) di \({{\mathbb{R}}^{2}}\) ed una funzione \(f:A\to \mathbb{R}\). Consideriamo \({{P}_{0}}=({{x}_{0}},{{y}_{0}})\) che sia punto di accumulazione per l’insieme\(A\) (se ciò non è verificato, non ha senso il limite).
Si dice che il limite della funzione \(f(x,y)\) per \((x,y)\to (0,0)\) tende (o converge) a \(l\in \mathbb{R}\) e si scrive \(\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=l\) se, qualunque sia \(\varepsilon >0\), esiste un \(\delta >0\) tale che:
\[\left| f(x,y)-l \right|<\varepsilon \]
Per ogni \((x,y)\in A\) , con \(0<\left| (x,y)-({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right|<\delta \), ovvero \(0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}<\delta \).
Questa che abbiamo appena visto è la definizione di limite di funzione di due variabili reali nel caso in cui il limite tende ad un valore finito.
Consideriamo un insieme \(A\) di \({{\mathbb{R}}^{2}}\) ed una funzione \(f:A\to \mathbb{R}\). Consideriamo \({{P}_{0}}=({{x}_{0}},{{y}_{0}})\) che sia punto di accumulazione per l’insieme \(A\) (se ciò non è verificato, non ha senso il limite).
Si dice invece che una funzione \(f(x,y)\) per \((x,y)\to (0,0)\) tende (diverge) ad infinito \(+\infty \) se, qualunque sia \(M>0\), esiste un \(\delta >0\)e che
\[f(x,y)>M\]
Per ogni \((x,y)\in A\), con \(0<\left| (x,y)-({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right|<\delta \), ovvero \(0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}<\delta \).
Questa che abbiamo appena visto è la definizione di limite di funzione di due variabili reali nel caso in cui il limite tende ad un valore infinito. La definizione si può estendere al caso in cui il limite tenda a \(-\infty\) senza difficoltà.
Calcolare se esiste il limite delle seguenti funzioni, o in caso contrario dimostrare che non esiste:
Calcolare i seguenti limiti:
1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{x+y}\) ,
2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}\)
3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}\)
\(\left\{ \begin{align} & x=\rho \cos \theta \\ & y=\rho \sin \theta \\ \end{align} \right.\)
Vogliamo calcolare i seguenti limiti:
1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) ,
2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\)
Lezioni di Analisi Matematica 2
Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali