La definizione di limite per funzioni di una variabile reale si estende senza difficoltà a funzioni di due variabili reali. Andiamo in questa lezione a vederificare la definizione di limite di funzione di due variabili reali ed alcuni esercizi su come calcolarli.

Funzione che tende ad un limite finito

Consideriamo un insieme \(A\) di \({{\mathbb{R}}^{2}}\) ed una funzione \(f:A\to \mathbb{R}\). Consideriamo \({{P}_{0}}=({{x}_{0}},{{y}_{0}})\) che sia punto di accumulazione per l’insieme\(A\) (se ciò non è verificato, non ha senso il limite).

Si dice che il limite della funzione \(f(x,y)\) per \((x,y)\to (0,0)\) tende (o converge) a \(l\in \mathbb{R}\) e si scrive \(\underset{(x,y)\to ({{x}_{0}},{{y}_{0}})}{\mathop{\lim }}\,f\left( x,y \right)=l\)  se, qualunque sia \(\varepsilon >0\), esiste un \(\delta >0\) tale che:

\[\left| f(x,y)-l \right|<\varepsilon \]

Per ogni \((x,y)\in A\) , con \(0<\left| (x,y)-({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right|<\delta \), ovvero \(0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}<\delta \).

Questa che abbiamo appena visto è la definizione di limite di funzione di due variabili reali nel caso in cui il limite tende ad un valore finito.

Funzione che tende ad un limite infinito

Consideriamo un insieme \(A\) di \({{\mathbb{R}}^{2}}\) ed una funzione \(f:A\to \mathbb{R}\). Consideriamo \({{P}_{0}}=({{x}_{0}},{{y}_{0}})\) che sia punto di accumulazione per l’insieme \(A\) (se ciò non è verificato, non ha senso il limite).

Si dice invece che una funzione \(f(x,y)\) per \((x,y)\to (0,0)\) tende (diverge) ad infinito \(+\infty \) se, qualunque sia \(M>0\), esiste un \(\delta >0\)e che

\[f(x,y)>M\]

Per ogni \((x,y)\in A\), con \(0<\left| (x,y)-({{x}_{0}},{{y}_{0}}) \right|<\delta \), ovvero \(0<\sqrt{{{(x-{{x}_{0}})}^{2}}+{{\left( y-{{y}_{0}} \right)}^{2}}}<\delta \).

Questa che abbiamo appena visto è la definizione di limite di funzione di due variabili reali nel caso in cui il limite tende ad un valore infinito. La definizione si può estendere al caso in cui il limite tenda a \(-\infty\) senza difficoltà.

ESERCIZI DI LIMITI DI FUNZIONI IN DUE VARIABILI

Calcolare se esiste il limite delle seguenti funzioni, o in caso contrario dimostrare che non esiste:

• Esempio di risoluzione di limiti di due variabili reali con \((x,y) \to (0,0)\) attraverso il metodo della sostituzione y=mx (quando si può usare e quando il metodo risulta inefficace):

Calcolare i seguenti limiti:

1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{x+y}\) ,

2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}\)

3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}\)

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• Vediamo come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari.

\(\left\{ \begin{align}  & x=\rho \cos \theta  \\  & y=\rho \sin \theta  \\ \end{align} \right.\)

Vogliamo calcolare i seguenti limiti:

1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) ,

2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\)

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• \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}}\)

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• \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)

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• \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}\)

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• \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{e}^{{{x}^{2}}-{{y}^{2}}}}-\cos \left( \sqrt{2}y \right)}{6{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)

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• \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{2}}}\)

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• \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty,\infty) }{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}\)

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