Dimostrare che il limite di funzione di due variabili non esiste

Problema

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}\)

Continua a leggere la soluzione, vedremo come notare e dimostrare che il limite di funzione di due variabili non esiste.

Soluzione

Come prima cosa proviamo a fare alcuni passaggi algebrici:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{4}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}\left( \frac{{{y}^{2}}}{x} \right)}{{{x}^{2}}\left( 1+\frac{{{y}^{4}}}{{{x}^{2}}} \right)}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\)

Dove abbiamo introdotto la variabile t definita come \(t=\frac{{{y}^{2}}}{x}\) .

t è una quantità che può tendere a qualsiasi cosa, a seconda di come varia l’ordine di infinitesimo della variabile \(x\) rispetto a quello della variabile \(y\). Si può verificare facilmente che a seconda del valore assunto dalla variabile t il limite cambia.

Il limite esiste se indipendentemente da come si mette in relazione la variabile x con la variabile y il risultato del limite non cambia.

Se ad esempio si pone \(x={{y}^{2}}\), la relazione è corretta perché se \(x\to 0\) anche \(y\to 0\) . In questo caso si ha che \(t\to 1\) e il risultato del limite in questo caso sarebbe \(\frac{1}{2}\) .

Se invece si pone \(x=y\) , \(t\to 0\) e il risultato del limite sarebbe \(0\).

Dimostrazione che il limite di funzione di due variabili non esiste

Il risultato del limite dipende da come si mette in relazione la variabile x alla variabile y e quindi il limite non esiste.

Quello che abbiamo visto è un esempio di come si fa a dimostrare che il limite di funzione di due variabili non esiste.

Limite di una funzione di due variabili reali

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