Esercizio limite in due variabili

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}\)

Continua a leggere la soluzione dell’esercizio limite in due variabili reali con \(\left( x,y \right)\to \left( \infty ,\infty  \right)\) .

Soluzione

In questo caso, si può da subito trascurare l’1 al denominatore, infatti quest’ultimo è una quantità finita e quindi trascurabile rispetto alla parte infinita a costituta da \({{x}^{4}}+{{y}^{6}}\). Quindi facciamo questa prima approssimazione asintotica al denominatore e il limite diventa:

\(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}\sim \) \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}=\)

A questo punto proviamo a dividere numeratore e denominatore per \({{x}^{4}}\), in modo da ottenere una espressione in cui la variabile y è rapportata alla variabile x

\(=\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{y}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{{{y}^{6}}}{{{x}^{4}}}}=\)

A questo punto facciamo dei passaggi algebrici in modo da isolare una frazione razionale nella variabile \(\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}\) .

\(=\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{6}}}}}{1+{{\left( \frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{{x}^{4}}}\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}}}{1+{{\left( \frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{4}}}}\frac{\sqrt[3]{\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}}}{1+{{\left( \frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}=\)

Fatto ciò introduciamo una quantità \(t=\sqrt[3]{\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}}\)  e il limite può essere riscritto come il prodotto di due fattori:

\(=\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\)

A questo punto andiamo ad analizzare i singoli fattori. Iniziamo dal primo, ovvero \(\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\). Quest’ultimo dipende solo da x e si ha che il suo limite tende a zero:

\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{4/3}}}=0\)

Passiamo al secondo fattore \(\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\). Osservandolo si può notare che il numeratore è sempre maggiore del denominatore ed in particolare possiamo scrivere la disequazione \(\left| \frac{t}{1+{{t}^{2}}} \right|<1\) \(\forall \in \mathbb{R}\)  e questo implica che la frazione è una quantità limitatà.

A questo punto possiamo concludere che il limite così scritto non è una forma indeterminata, perché prodotto di una quantità che tende a zero per una quantità limitata. Il risultato del limite è zero:

\(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}=0\)

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Limite di una funzione di due variabili reali

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Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali