Esercizio limite in due variabili

Problema

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,{{e}^{-\frac{{{x}^{2}}}{{{y}^{4}}}}}\)

Continua a leggere la soluzione, si tratta di un esempio di limite di funzione di due variabili che non esiste.

Soluzione

È molto probabile che questo non esista visto che all’esponente c’è un rapporto diretto tra le due variabili x e y. Per dimostrare che non esiste possiamo mostrare che il risultato del limite dipende dall’ordine di infinitesimo del numeratore rispetto a quello del denominatore. Infatti, x e y sono variabili indipendenti e quindi sarebbe un errore pensare ad esempio che l’ordine di infinitesimo del numeratore è 2 e quello del denominatore è 4.

Per rendere confrontabili numeratore e denominatore bisogna scegliere una opportuna parametrizzazione per le variabili x ed y. Il limite esiste se indipendentemente dalla parametrizzazione scelta, il risultato del limite non cambia.

Poniamo ad esempio:

\(x={{t}^{2}},\,\,y=t\)

La parametrizzazione è corretta infatti se \(x\to 0\) anche \({{t}^{2}}\to 0\) e se \(y\to 0\) anche \(t\to 0\), quindi se \((x,y)\to (0,0)\) anche la curva \(({{t}^{2}},t)\to (0,0)\). Sostituendo la parametrizzazione nel limite si ha:

\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{e}^{-\frac{{{t}^{4}}}{{{t}^{4}}}}}={{e}^{-1}}\)

A questo punto proviamo a cambiare parametrizzazione ed utilizziamo ad esempio:

\(x={{t}^{4}},\,\,y=t\)

Anche questa parametrizzazione è corretta, per le stesse ragioni del caso precedente. Sostituiamo la parametrizzazione nel limite e si ottiene:

\(\underset{t\to 0}{\mathop{\lim }}\,\,{{e}^{-\frac{{{t}^{8}}}{{{t}^{4}}}}}={{e}^{0}}=1\)

A questo punto, osservando che a seconda della parametrizzazione scelta, il valore del limite cambia, possiamo concludere che il limite non esiste.

Abbiamo quindi mostrato un esempio di limite di funzione di due variabili che non esiste.

Limite di una funzione di due variabili reali

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