Soluzione
In questo caso, si può da subito trascurare l’1 al denominatore, infatti quest’ultimo è una quantità finita e quindi trascurabile rispetto alla parte infinita a costituta da \({{x}^{4}}+{{y}^{6}}\). Quindi facciamo questa prima approssimazione asintotica al denominatore e il limite diventa:
\(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}\sim \) \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}=\)
A questo punto proviamo a dividere numeratore e denominatore per \({{x}^{4}}\), in modo da ottenere una espressione in cui la variabile y è rapportata alla variabile x
\(=\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{\frac{y}{{{x}^{2}}}}{1+\frac{{{y}^{6}}}{{{x}^{4}}}}=\)
A questo punto facciamo dei passaggi algebrici in modo da isolare una frazione razionale nella variabile \(\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}\) .
\(=\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{6}}}}}{1+{{\left( \frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{{{x}^{4}}}\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}}}{1+{{\left( \frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{\sqrt[3]{{{x}^{4}}}}\frac{\sqrt[3]{\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}}}{1+{{\left( \frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}} \right)}^{2}}}=\)
Fatto ciò introduciamo una quantità \(t=\sqrt[3]{\frac{{{y}^{3}}}{{{x}^{2}}}}\) e il limite può essere riscritto come il prodotto di due fattori:
\(=\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\)
A questo punto andiamo ad analizzare i singoli fattori. Iniziamo dal primo, ovvero \(\frac{1}{{{x}^{4/3}}}\). Quest’ultimo dipende solo da x e si ha che il suo limite tende a zero:
\(\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{1}{{{x}^{4/3}}}=0\)
Passiamo al secondo fattore \(\frac{t}{1+{{t}^{2}}}\). Osservandolo si può notare che il numeratore è sempre maggiore del denominatore ed in particolare possiamo scrivere la disequazione \(\left| \frac{t}{1+{{t}^{2}}} \right|<1\) \(\forall \in \mathbb{R}\) e questo implica che la frazione è una quantità limitatà.
A questo punto possiamo concludere che il limite così scritto non è una forma indeterminata, perché prodotto di una quantità che tende a zero per una quantità limitata. Il risultato del limite è zero:
\(\underset{\left( x,y \right)\to (\infty ,\infty )}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}y}{1+{{x}^{4}}+{{y}^{6}}}=0\)
Esercizio limite di due variabili reali con\(\left( x,y \right)\to \left( \infty ,\infty \right)\), continua a navigare sul sito per leggere altre soluzioni e lezioni di Analisi Matematica 2.
Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali