Esercizio sui limiti di funzioni di due variabili reali

Vogliamo calcolare il seguente limite

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}\)

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Soluzione

Come prima cosa proviamo a fare alcuni passaggi algebrici cercando di isolare un limite notevole:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}{{\log }^{3}}y}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }^{3}}\left( 1+y-1 \right)}{{{\left( y-1 \right)}^{3}}}\frac{{{\left( y-1 \right)}^{3}}{{x}^{2}}}{{{\left[ {{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}} \right]}^{2}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{\log }^{3}}\left( 1+y-1 \right)}{{{\left( y-1 \right)}^{3}}}\frac{\frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}}{{{\left[ \frac{{{x}^{2}}}{{{\left( y-1 \right)}^{2}}}+1 \right]}^{2}}}\left( y-1 \right)=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,1 \right)}{\mathop{\lim }}\,\left[ \frac{\log \left( 1+y-1 \right)}{\left( y-1 \right)} \right]\left[ \frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}} \right]\)\(\left( y-1 \right)=0\)

Questo limite esiste e fa zero, ma commentiamo il risultato.

Nell’ultimo passaggio si può notare che abbiamo scritto il limite come il prodotto di tre fattori e analizziamoli singolarmente.

Il primo fattore dipende dalla sola variabile y  \(\underset{y\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\log \left( 1+y-1 \right)}{\left( y-1 \right)}=1\)  perché corrisponde al limite notevole \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\log \left( 1+x \right)}{x}=1\)

Il secondo fattore \(\frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}\) è una quantità limitata, infatti si può facilmente verificare che \(0\le \frac{{{t}^{2}}}{{{\left( {{t}^{2}}+1 \right)}^{2}}}<1\) per ogni \(t\in \mathbb{R}\).

Il terzo fattore \(\left( y-1 \right)\to 0\) visto che \(y\to 1\).

Il risultato del limite quindi è \(0\) perché si tratta del prodotto di due quantità limitate per una quantità che tende a zero.

Quello che abbiamo appena visto è un esercizio sui limiti di funzioni di due variabili reali, continua la navigazione per leggere altri esempi e lezioni.

Limite di una funzione di due variabili reali

Lezioni di Analisi Matematica 2

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali