Esercizio sui limiti in due variabili con sostituzione y=mx

Calcolare i seguenti limiti di due variabili reali con sostituzione y=mx

Vogliamo calcolare i seguenti limiti

1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{x+y}\) ,

2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}\)

3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}\)

Proviamo a risolvere l’esercizio sui limiti in due variabili con sostituzione y=mx.

fascio di rette passanti per l'origine
Sostituzione y=mx nei limiti di due variabili reali (fascio di rette passanti per l’origine degli assi cartesiani)

1. Soluzione del primo limite di funzione due variabili reali

Per questo esercizio proviamo ad utilizzare la sostituzione y=mx, e vediamo come arrivare alla soluzione ed in particolare, dimostrare se esiste o non esiste il limite.

Osserviamo innanzi tutto che \(y=mx\) è una retta passante per l’origine e al variare di m cambia la pendenza e quindi la direzione con cui essa tende verso l’origine degli assi, quando \(x \to 0\) e di conseguenza anche \(y \to 0\)

Ogni valore di m rappresenta una direzioneIl limite esiste, se il risultato non dipende da m, tenendo presente che m può tendere a \(\pm \infty \) nel caso in cui la retta tende a coincidere con l’asse y.

Facciamo la sostituzione nel limite e si ha:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{x+y}=\) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{m{{x}^{2}}}{x+mx}=\) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{2}}\frac{m}{1+m}\) con \(m\in \mathbb{R}\cup \left\{ \pm \infty  \right\}\)

In questo caso otteniamo il prodotto di due fattori:

  • Il primo fattore è \({{x}^{2}}\to 0\) visto che \(x\to 0\)
  • Il secondo fattore è \(\frac{m}{1+m}\) ed è una quantità limitata in essendo il modulo del denominatore sempre maggiore del modulo del numeratore. Possiamo scrivere la disuguaglianza   \(\left| \frac{m}{1+m} \right|<1\) per qualunque valore di m.

Possiamo concludere quindi che il limite non è una forma indeterminata, essendo composto da una quantità che tende a zero per una quantità finita.

Possiamo concludere che il risultato del limite è zero: \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{x+y}=0\).

2. Soluzione del secondo limite di funzione due variabili reali

Anche per questo esercizio proviamo ad utilizzare la sostituzione y=mx, e a fare passaggi simili a prima e vediamo se arriviamo alla stessa conclusione di prima.

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}=\) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{m}^{2}}{{x}^{3}}}{x+mx}=\) \(\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,{{x}^{3}}\frac{{{m}^{2}}}{1+m}\)con \(m\in \mathbb{R}\cup \left\{ \pm \infty  \right\}\)

Per questo secondo limite non si può trarre la stessa conclusione del caso precedente, tenuto conto che \(\frac{{{m}^{2}}}{1+m}\) non è una quantità limitata. Infatti, se \(m\to \infty \)  anche la frazione \(\frac{{{m}^{2}}}{1+m}\to \infty \) e considerato l’altro fattore \({{x}^{3}}\to 0\), si ottiene per certi valori di m una forma indeterminata del tipo \(0\cdot \infty \).

Con questo procedimento non si arriva a nulla!

Se raccogliamo però una y al numeratore il limite diventa:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,y\cdot \frac{xy}{x+y}\)

Si tratta del prodotto di due quantità che tendono a zero, infatti \(y\) tende a zero e anche \(\frac{xy}{x+y}\) tende a zero (come abbiamo dimostrato nel caso precedente). Pertanto anche questo limite fa zero \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{x+y}=0\)

Abbiamo osservato che questo esercizio sui limiti in due variabili con sostituzione y=mx, risulta inefficace il metodo applicato in maniera diretta, ma può essere applicato se si fa un raccoglimento al numeratore. Naturalmente tramite passaggi algebrici simili si può estendere il metodo per la risoluzione di vari esercizi sui limiti in due variabili reali.

3. Soluzione del terzo limite di funzione di due variabili

Risolviamo anche questo esercizio sui limiti in due variabili con sostituzione y=mx. Facciamo la sostituzione y=mx e vediamo cosa succede:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{3}}+{{y}^{3}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{3}}{{m}^{2}}}{{{x}^{3}}+{{m}^{3}}{{x}^{3}}}=\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{m}^{2}}}{1+{{m}^{3}}}\) , con \(m\in \mathbb{R}\cup \left\{ \pm \infty  \right\}\)

In questo caso si vede facilmente che il risultato varia al variare di m e quindi possiamo concludere che il limite non esiste.

Per concludere quando si calcola un limite in due variabili con \(\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)\) e si vuole usare la sostituzione y=mx, si può giungere a conclusione solo se si riesce a mostrare che il limite tende a qualcosa indipendentemente da quanto vale m, ricordando che m può tendere anche ad infinito, o viceversa se si riesce a mostrare che il limite dipende da m e in questo caso si può dedurre che il limite non esiste.

Quello che abbiamo appena visto è un esercizio sui limiti in due variabili con sostituzione y=mx due variabili reali, continua la navigazione per leggere altri esempi e lezioni.

Limite di una funzione di due variabili reali

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