Risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari

Vediamo come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari.

Vogliamo calcolare i seguenti limiti:

1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)

3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\)

In questa lezione impariamo a risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari.

Soluzione del primo limite

Per prima cosa definiamo le coordinate polari come il cambio di variabili \(\left( x,y \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta  \right)\), con \(\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\)e \(\rho \ge 0\) . Per ogni valore di \(\theta \), cambia la direzione del vettore che tende a zero. Naturalmente per \((x,y)\to (0,0)\) si ha che \(\rho \to {{0}^{+}}\).

Nel grafico è rappresentato il significato geometrico delle coordinate polari.

Risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari - x=ρ∙cosθ, y=ρ∙sinθIl limite esiste, se il risultato non dipende da θ. Facciamo la sostituzione nella funzione e si ha:

\(\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\) \(\frac{\rho \cos \theta \cdot {{\rho }^{2}}\,{{\sin }^{2}}\theta }{{{\rho }^{2}}\,{{\cos }^{2}}\theta +{{\rho }^{2}}\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) \(\frac{\rho \cos \theta \cdot \,{{\sin }^{2}}\theta }{\,{{\cos }^{2}}\theta +\,{{\sin }^{2}}\theta }=\)  con \(\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\)

A questo punto considerando che seno e coseno sono entrambi quantità limitate tra -1 e 1, anche il loro prodotto sarà limitato tra le stesse quantità e possiamo quindi scrivere la disuguaglianza:

\(\left| \rho \cos \theta \,{{\sin }^{2}}\theta  \right|<\rho \)

Inoltre considerato che se \(\left( x,y \right)\to (0,0)\) \(\Rightarrow \) \(\rho \to {{0}^{+}}\), possiamo portare la disuguaglianza al limite e si ha:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \)\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\rho =0\)

A questo punto per il teorema del confronto possiamo concludere che poiché la funzione per \((x,y)\to (0,0)\) è minore di una quantità che tende a zero, allora il limite della funzione \(\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) tende anche esso a zero.

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=0\)

Soluzione del secondo limite

Andiamo a risolvere il secondo limite: sostituiamo di nuovo \(\left( x,y \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta  \right)\) nel limite e si ha facendo passaggi simili al caso precedente:

\(\underset{\left( x,y \right)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\rho \cos \theta \cdot \rho \,\sin \theta }{{{\rho }^{2}}\,{{\cos }^{2}}\theta +{{\rho }^{2}}\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \theta \cdot \,\sin \theta }{\,{{\cos }^{2}}\theta +\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) \(\cos \theta \cdot \,\sin \theta \) con \(\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\)

Il risultato dipende da θ e possiamo pertanto concludere che il limite non esiste. Infatti il limite esiste se il risultato non dipende da θ e quindi dalla direzione con cui \((x,y)\to (0,0)\)

Soluzione del terzo limite

Vediamo come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari, anche in un caso non del tutto immediato come questo.

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\)

Per cominciare osserviamo che in questo caso con \((x,y)\to (-1,2)\) , si ha che \((x+1)\to 0\) e che \((y-2)\to 0\).

In questo caso andiamo ad usare le coordinate polari traslate, ovvero centrate in \((-1,2)\). Per fare ciò scriviamo \((x,y)=(\rho \cos \theta -1,\rho \sin \theta +2)\) con \(\rho \to {{0}^{+}}\) e \(\theta \in \left[ 0,2\pi  \right]\).

Riscriviamo il denominatore della funzione completando i quadrati e si ha:

\(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}=\) \(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+4+1}=\) \(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+\left( {{y}^{2}}-4y+4 \right)}=\) \(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}\)

A questo punto facciamo la sostituzione \((x,y)=(\rho \cos \theta -1,\rho \sin \theta +2)\) e si ha:

\(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}=\) \(\frac{\left( \rho \cos \theta -1+1 \right){{\left( \rho \sin \theta +2-2 \right)}^{2}}}{{{\left( \rho \cos \theta -1+1 \right)}^{2}}+{{\left( \rho \sin \theta +2-2 \right)}^{2}}}=\) \(\frac{\left( \rho \cos \theta  \right){{\left( \rho \sin \theta  \right)}^{2}}}{{{\left( \rho \cos \theta  \right)}^{2}}+{{\left( \rho \sin \theta  \right)}^{2}}}=\) \(\rho \cos \theta {{\sin }^{2}}\theta \)

Come per il primo caso possiamo scrivere la disuguaglianza:

\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\le\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5} \right|\le \) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\rho =0\)

Anche in questo caso per il teorema del confronto, si ha che il risultato del limite è zero.

Abbiamo appena visto come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari, continua la navigazione per leggere altri esempi e lezioni.

Limite di una funzione di due variabili reali

Lezioni di Analisi Matematica 2

Professore di teoria dei segnali e analisi matematica


Professore Casparriello Marco

Esperto in didattica di Analisi Matematica e Teoria dei Segnali