Vediamo come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari.
Vogliamo calcolare i seguenti limiti:
1) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
2) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\)
3) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\)
In questa lezione impariamo a risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari.
Per prima cosa definiamo le coordinate polari come il cambio di variabili \(\left( x,y \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta \right)\), con \(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\)e \(\rho \ge 0\) . Per ogni valore di \(\theta \), cambia la direzione del vettore che tende a zero. Naturalmente per \((x,y)\to (0,0)\) si ha che \(\rho \to {{0}^{+}}\).
Nel grafico è rappresentato il significato geometrico delle coordinate polari.
Il limite esiste, se il risultato non dipende da θ. Facciamo la sostituzione nella funzione e si ha:
\(\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\) \(\frac{\rho \cos \theta \cdot {{\rho }^{2}}\,{{\sin }^{2}}\theta }{{{\rho }^{2}}\,{{\cos }^{2}}\theta +{{\rho }^{2}}\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) \(\frac{\rho \cos \theta \cdot \,{{\sin }^{2}}\theta }{\,{{\cos }^{2}}\theta +\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) con \(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\)
A questo punto considerando che seno e coseno sono entrambi quantità limitate tra -1 e 1, anche il loro prodotto sarà limitato tra le stesse quantità e possiamo quindi scrivere la disuguaglianza:
\(\left| \rho \cos \theta \,{{\sin }^{2}}\theta \right|<\rho \)
Inoltre considerato che se \(\left( x,y \right)\to (0,0)\) \(\Rightarrow \) \(\rho \to {{0}^{+}}\), possiamo portare la disuguaglianza al limite e si ha:
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\le \)\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}} \right|\le \) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\rho =0\)
A questo punto per il teorema del confronto possiamo concludere che poiché la funzione per \((x,y)\to (0,0)\) è minore di una quantità che tende a zero, allora il limite della funzione \(\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}\) tende anche esso a zero.
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( 0,0 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{x{{y}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=0\)
Andiamo a risolvere il secondo limite: sostituiamo di nuovo \(\left( x,y \right)=\left( \rho \cos \theta ,\rho \sin \theta \right)\) nel limite e si ha facendo passaggi simili al caso precedente:
\(\underset{\left( x,y \right)\to (0,0)}{\mathop{\lim }}\,\frac{xy}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}=\) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\rho \cos \theta \cdot \rho \,\sin \theta }{{{\rho }^{2}}\,{{\cos }^{2}}\theta +{{\rho }^{2}}\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\cos \theta \cdot \,\sin \theta }{\,{{\cos }^{2}}\theta +\,{{\sin }^{2}}\theta }=\) \(\cos \theta \cdot \,\sin \theta \) con \(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\)
Il risultato dipende da θ e possiamo pertanto concludere che il limite non esiste. Infatti il limite esiste se il risultato non dipende da θ e quindi dalla direzione con cui \((x,y)\to (0,0)\)
Vediamo come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari, anche in un caso non del tutto immediato come questo.
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\)
Per cominciare osserviamo che in questo caso con \((x,y)\to (-1,2)\) , si ha che \((x+1)\to 0\) e che \((y-2)\to 0\).
In questo caso andiamo ad usare le coordinate polari traslate, ovvero centrate in \((-1,2)\). Per fare ciò scriviamo \((x,y)=(\rho \cos \theta -1,\rho \sin \theta +2)\) con \(\rho \to {{0}^{+}}\) e \(\theta \in \left[ 0,2\pi \right]\).
Riscriviamo il denominatore della funzione completando i quadrati e si ha:
\(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}=\) \(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+4+1}=\) \(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{\left( {{x}^{2}}+2x+1 \right)+\left( {{y}^{2}}-4y+4 \right)}=\) \(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}\)
A questo punto facciamo la sostituzione \((x,y)=(\rho \cos \theta -1,\rho \sin \theta +2)\) e si ha:
\(\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}}=\) \(\frac{\left( \rho \cos \theta -1+1 \right){{\left( \rho \sin \theta +2-2 \right)}^{2}}}{{{\left( \rho \cos \theta -1+1 \right)}^{2}}+{{\left( \rho \sin \theta +2-2 \right)}^{2}}}=\) \(\frac{\left( \rho \cos \theta \right){{\left( \rho \sin \theta \right)}^{2}}}{{{\left( \rho \cos \theta \right)}^{2}}+{{\left( \rho \sin \theta \right)}^{2}}}=\) \(\rho \cos \theta {{\sin }^{2}}\theta \)
Come per il primo caso possiamo scrivere la disuguaglianza:
\(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5}\le\) \(\underset{\left( x,y \right)\to \left( -1,2 \right)}{\mathop{\lim }}\,\left| \frac{\left( x+1 \right){{\left( y-2 \right)}^{2}}}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}-4y+2x+5} \right|\le \) \(\underset{\rho \to {{0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\rho =0\)
Anche in questo caso per il teorema del confronto, si ha che il risultato del limite è zero.
Abbiamo appena visto come risolvere limiti in due variabili con l’ausilio di coordinate polari, continua la navigazione per leggere altri esempi e lezioni.