massimi e minimi in due o più variabili

Sia \(f:A\to {{\mathbb{R}}^{n}}\) una funzione definita su un sottoinsieme \(A\subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}\) (non necessariamente aperto). Un punto \({{\mathbf{x}}_{0}}\in A\) si dice:

MASSIMO ASSOLUTO su \(A\) se \(f\left( \mathbf{x} \right)\le f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\,\,\,\forall \mathbf{x}\in A\)

 

MINIMO ASSOLUTO su \(A\) se \(f\left( \mathbf{x} \right)\ge f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\,\,\,\forall \mathbf{x}\in A\)

Un punto \({{\mathbf{x}}_{0}}\in A\)si dice:

MASSIMO RELATIVO su \(A\) se \(\exists \delta >0:\,\,\forall \mathbf{x}\in {{B}_{\delta }}\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\cap A\,\,f\left( \mathbf{x} \right)\le f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\,\,\,\)

MINIMO ASSOLUTO su \(A\) se \(\exists \delta >0:\,\,\forall \mathbf{x}\in {{B}_{\delta }}\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\cap A\,\,f\left( \mathbf{x} \right)\ge f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\,\,\,\)

TEOREMA DI FERMAT

Sia \(f:A\to \mathbb{R}\) una funzione derivabile in un punto \({{\mathbf{x}}_{0}}\) interno ad \(A\) . Se \({{\mathbf{x}}_{0}}\)è un punto di massimo o di minimo relativo per \(f\) su \(A\) , allora \(\nabla f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)=\mathbf{0}\)

PUNTI CRITICI (STAZIONARI):

Sia \(f:A\to \mathbb{R}\) con \(A\subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}\) aperto, si chiamano punti stazionari i punti in cui si annulla il gradiente di \(f\) . Per il teorema di Fermat i punti di massimo e di minimo relativo per \(f\) vanno cercati tra i punti critici se \(f\)è derivabile.

Non tutti i punti critici sono massimi o minimi relativo, tali punti si chiamano punti di Sella.

CATALOGAZIONE DEI PUNTI CRITICI IN \({{\mathbb{R}}^{2}}\)

Quasi dimostrazione della formula di Taylor:

Consideriamo la restrizione della funzione \(f\) alla retta uscente da \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) nella direzione \(\mathbf{v}=\left( {{v}_{1}},{{v}_{2}} \right)\) . Supponiamo che \(f\) sia di classe \({{C}^{2}}\) .

Consideriamo la funzione \(F\left( t \right)=f\left( {{x}_{0}}+{{v}_{1}}t,{{y}_{0}}+{{v}_{2}}t \right)\) . Per il teorema di derivazione di funzioni composte \(F\) è derivabile (in un intorno del punto) e si ha:

\({F}’\left( t \right)={{v}_{1}}{{f}_{x}}^{\prime }\left( {{x}_{0}}+{{v}_{1}}t,{{y}_{0}}+{{v}_{2}}t \right)+\)\({{v}_{2}}{{f}_{y}}^{\prime }\left( {{x}_{0}}+{{v}_{1}}t,{{y}_{0}}+{{v}_{2}}t \right)\)

Siccome \(f\) è di classe \({{C}^{2}}\) allora si può derivare di nuovo.

per il teorema di Schwarz sulle derivate miste, i due termini centrali si possono sommare:

Quindi \(F\) è derivabile due volte in un intorno di \({{t}_{0}}=0\) , e a partire dalle sue derivate è possibile costruire lo sviluppo di Mc Laurin al secondo ordine con resto di Peano.

\(F\left( t \right)=F\left( 0 \right)+\)\(t\,{F}’\left( 0 \right)+\frac{{{t}^{2}}}{2}{F}”\left( 0 \right)+o\left( {{t}^{2}} \right)\)

Quindi:

\(\begin{align}& f\left( {{x}_{0}}+{{v}_{1}}t,{{y}_{0}}+{{v}_{2}}t \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+t\,\left[ {{v}_{1}}{{f}_{x}}^{\prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{v}_{2}}{{f}_{y}}^{\prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+ \\& +\frac{{{t}^{2}}}{2}\left[ {{v}_{1}}^{2}{{f}_{xx}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+2{{v}_{1}}{{v}_{2}}{{f}_{xy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{v}_{2}}^{2}{{f}_{yy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+o\left( {{t}^{2}} \right) \\\end{align}\)

Introducendo ora due variabili ausiliarie:

\(h=t{{v}_{1}}\,\,\,\,,\,\,\,\,\,\,\,k=t{{v}_{2}}\)

\(\begin{align}& f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\left[ h\,{{f}_{x}}^{\prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+k\,\,{{f}_{y}}^{\prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+ \\& +\frac{1}{2}\left[ {{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+o\left( {{t}^{2}} \right) \\\end{align}\)

L’ultimo passaggio \(o\left( {{t}^{2}} \right)\ne o\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right)\) , ma la formula di Taylor arrestata al secondo ordine ci dice che:

esercizi  su massimi e minimi

FORMULA DI TAYLOR ARRESTATA AL SECONDO ORDINE

Sia \(f:A\to \mathbb{R}\) una funzione di classe \({{C}^{2}}\) su un aperto \(A\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\) e sia \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) un punto di \(A\) .

Allora per \(\left( h,k \right)\to \left( 0,0 \right)\), ovvero un intorno circolare di \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\):

\(\begin{align}& f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\left[ h\,{{f}_{x}}^{\prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+k\,\,{{f}_{y}}^{\prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+ \\& +\frac{1}{2}\left[ {{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+o\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right) \\\end{align}\)

La formula di Taylor può essere riscritta in forma matriciale:

\(f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)=f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+\nabla f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\centerdot \left( \begin{align}& h \\& k \\\end{align} \right)\) \(+\left( h\,\,\,k \right)\,{{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\left( \begin{align}& h \\& k \\\end{align} \right)+o\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right)\)

In corrispondenza dei punti critici \(\nabla f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\mathbf{0}\)e quindi il termine del primo ordine nella formula di Taylor si annulla.

\(f\left( {{x}_{0}}+h,{{y}_{0}}+k \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=+\frac{1}{2}\left[ {{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]+o\left( {{h}^{2}}+{{k}^{2}} \right)\)

Notiamo quindi che si può dire che il punto \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) è:

• un punto di minimo se \(\frac{1}{2}\left[ {{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]>0\) ,

• punto di massimo se \(\frac{1}{2}\left[ {{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}^{\prime \prime }\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right) \right]<0\) .

• punto di sella se non è verificata nessuna delle precedenti.

Lo studio del segno può essere fatto direttamente a partire dalla matrice Hessiana.

\(q\left( h,k \right)={{h}^{2}}{{f}_{xx}}+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}\)

\({{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=\left( \begin{matrix}{{f}_{xx}} &{{f}_{xy}} \\{{f}_{xy}} & {{f}_{yy}} \\\end{matrix} \right)\)

Se \(\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)>0\,\,\,\Rightarrow \,\,\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)={{f}_{xx}}{{f}_{yy}}-{{f}_{xy}}^{2}>0\) allora \({{f}_{xx}}\ne 0\) e risulta

\(\begin{align}& {{f}_{xx}}\,q\left( h,k \right)={{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{2}+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}{{f}_{xx}}+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}{{f}_{xx}}= \\& {{h}^{2}}{{f}_{xx}}^{2}+2\,h\,k\,{{f}_{xy}}{{f}_{xx}}+{{k}^{2}}{{f}_{xy}}^{2}\,\,\,\,-{{k}^{2}}{{f}_{xy}}^{2}+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}{{f}_{xx}}\,\,\,\,\,\,\,= \\& {{\left( h\,{{f}_{xx}}+k\,{{f}_{xy}} \right)}^{2}}+\left( {{f}_{yy}}{{f}_{xx}}-{{f}_{xy}}^{2}\, \right){{k}^{2}}= \\& {{\left( h\,{{f}_{xx}}+k\,{{f}_{xy}} \right)}^{2}}+\det {{\mathbf{H}}_{f}}{{k}^{2}}>0\,\,\,\,\,\forall \left( h,k \right)\ne \left( 0,0 \right) \\\end{align}\)

Quindi \(q\left( h,k \right)\) e \({{f}_{xx}}\)hanno lo stesso segno e si ha quindi:

\(\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)>0,\,\,\,\,\,{{f}_{xx}}>0\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,q\left( h,k \right)>0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\,\,punto\,\,di\,\,\,\min \)

\(\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)>0,\,\,\,\,\,{{f}_{xx}}<0\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\,q\left( h,k \right)<0\,\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\,\,punto\,\,di\,\,\,\max \)

Se \(\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)<0\,\,\Rightarrow \,\,\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)={{f}_{xx}}{{f}_{yy}}-{{f}_{xy}}^{2}<0\) si distinguono i seguenti casi:

1. \({{f}_{xx}}=0\,\,\Rightarrow \,\,{{f}_{xy}}\ne 0\,\,\Rightarrow \,\,q\left( h,k \right)=k\left( 2{{f}_{xy}}h+{{f}_{yy}}k \right)\)

Basta porre:

\(q\left( k,k \right)=k\left( 2{{f}_{xy}}k+{{f}_{yy}}k \right)={{k}^{2}}\left( 2{{f}_{xy}}+{{f}_{yy}} \right)\)

\(q\left( k,-k \right)=k\left( 2{{f}_{xy}}k+{{f}_{yy}}k \right)=-{{k}^{2}}\left( 2{{f}_{xy}}+{{f}_{yy}} \right)\)

E osservando che \(q\left( k,k \right)\)e\(q\left( k,-k \right)\)\(\forall k\in \mathbb{R}\) sono discordi, si può dire che il punto critico\(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\)è di Sella.

2. \({{f}_{xx}}\ne 0\Rightarrow q\left( h,k \right)={{h}^{2}}{{f}_{xx}}+2hk{{f}_{xy}}+{{k}^{2}}{{f}_{yy}}\)\(={{k}^{2}}\left( {{\left( \frac{h}{k} \right)}^{2}}{{f}_{xx}}+2\left( \frac{h}{k} \right){{f}_{xy}}+{{f}_{yy}} \right)\)\(={{k}^{2}}\left( {{f}_{xx}}{{z}^{2}}+2{{f}_{xy}}z+{{f}_{yy}} \right)\)

Nella parentesi tonda c’è un equazione di secondo grado nella variabile \(z=\frac{h}{k}\) . Si tratta di un punto di Sella se l’equazione contiene intervalli di \(z\) dove risulta positiva e intervalli dove risulta negativa, ovvero\(\Delta >0\). Si tratterebbe di un punto di Sella perché\(\,\,q\left( h,k \right)\) risulterebbe positivo o negativo a seconda del rapporto che c’è tra \(h\) e \(k\) .

\(\Delta >0\,\,\Rightarrow \,\,4{{f}_{xy}}^{2}-4{{f}_{xx}}{{f}_{yy}}>0\,\,\,\Rightarrow \,\,{{f}_{xx}}{{f}_{yy}}-{{f}_{xy}}^{2}<0\,\,\,\Rightarrow \,\,\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)<0\,\)

Si ritorna cioè all’ipotesi di partenza. Quindi anche in questo secondo caso si tratta di un punto di Sella.

\(\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)<0\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\,\,punto\,\,di\,\,\,sella\)

\(\det {{\mathbf{H}}_{f}}\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=0\,\,\,\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,non\,si\,pu\grave{o}\,concludere\,nulla\)

Come ci si comporta quando il determinante della matrice Hessiana risulta nullo:

1. Non è detto che se l’Hessiana è degenere non si possano trarre conclusioni studiando direttamente \(q\left( h,k \right)\).

Esempio

\(f\left( x,y \right)={{x}^{2}}\)

Punto critico \(\left( 0,y \right)\)

\(\mathbf{H}=\left( \begin{matrix}6 & 0 \\0 & 0 \\\end{matrix} \right)\)

In tal caso \(\det \mathbf{H}=0\), ma \(q\left( h,k \right)=6>0\) e quindi si tratta di un minimo.

2. Si può sfruttare la matrice Hessiana per ricavare direttamente il secondo termine dello sviluppo di Taylor \(q\left( h,k \right)\), e da quest’ultimo fare delle deduzioni.

Esempio

\(f\left( x,y \right)={{x}^{4}}\)

Punto critico \(\left( 0,y \right)\)

\(\mathbf{H}=\left( \begin{matrix}12\,{{x}^{2}} & 0 \\0 & 0 \\\end{matrix} \right)\)

In tal caso \(\det \mathbf{H}=0\), ma \(q\left( h,k \right)=12{{k}^{2}}>0\,\,\forall k\) e quindi si tratta di un minimo.

3. E’ possibile studiare direttamente il segno della funzione se \(f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)=0\) ovvero verificare per quali \(\left( x,y \right)\in D\left( f \right)\) la funzione risulta positiva \(f\ge 0\) . Se invece \(f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\ne 0\)allora si può studiare dove risulta positiva \(f\left( x,y \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\ge 0\). Si ha che

a. \(f\left( x,y \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)>0\) in un certo intorno di \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) per dimostrare che si tratta di un punto di minimo.

b. \(f\left( x,y \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)>0\) in un certo intorno di \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) per dimostrare che si tratta di un punto di minimo.

c. Ci sono almeno due direzioni (definite da curve) sulle quali\(f\left( x,y \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\)ha segni discordi in prossimità di \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\).

Esempio

\(f\left( x,y \right)={{x}^{4}}{{y}^{8}}+{{x}^{20}}{{y}^{18}}\)

Un punto critico della funzione è il punto \(\mathbf{P}\equiv \left( 0.0 \right)\) .

In un intorno del punto \({{x}^{4}}{{y}^{8}}+{{x}^{20}}{{y}^{18}}>0\) perché sono tutte potenze pari e quindi è un minimo.

4. E’ possibile sfruttare le coordinate polari, ponendo \(x=\rho \,\cos \theta \) e \(y=\rho \,\sin \theta \).

In tal caso bisogna cercare di dimostrare che :

– \(f\left( \rho \cos \theta ,\,\rho \sin \theta \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)>g\left( \rho \right)>0\), per dimostrare che si tratta di un punto di minimo. Ovvero bisogna cercare una funzione \(g\left( \rho \right)\) positiva e che non dipende da \(\theta \) che minora la quantità \(f\left( \rho \cos \theta ,\,\rho \sin \theta \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\).

– \(0<g\left( \rho \right)<f\left( \rho \cos \theta ,\,\rho \sin \theta \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\), per dimostrare che si tratta di un punto di minimo. Ovvero bisogna cercare una funzione \(g\left( \rho \right)\) negativa e che non dipende da \(\theta \) che maggiora la quantità \(f\left( \rho \cos \theta ,\,\rho \sin \theta \right)-f\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\).

esercizi su massimi e minimi

CATALOGAZIONE DEI PUNTI CRITICI IN \({{\mathbb{R}}^{n}}\)

Sia \(f:A\to \mathbb{R}\) una funzione di classe \({{C}^{2}}\) su un aperto \(A\subseteq {{\mathbb{R}}^{2}}\) e sia \(\left( {{x}_{0}},{{y}_{0}} \right)\) un punto di \(A\) in cui \(\nabla f=0\), ovvero un punto stazionario . Lo sviluppo di Taylor arrestato al secondo ordine è dato dalla formula:
\(f\left( {{\mathbf{x}}_{0}}+\mathbf{h} \right)=f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)+\nabla f\centerdot \mathbf{h}+{{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\mathbf{h}+o\left( {{\left\| \mathbf{h} \right\|}^{2}} \right)\)
Considerato che \(\nabla f=0\), allora scompare il termine del primo ordine.
\(f\left( {{\mathbf{x}}_{0}}+\mathbf{h} \right)=f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)+{{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\mathbf{h}+o\left( {{\left\| \mathbf{h} \right\|}^{2}} \right)\)
Per cui in un intorno sferico definito da \(\mathbf{h}\to \mathbf{0}\) si ha che il segno di \(f\left( {{\mathbf{x}}_{0}}+\mathbf{h} \right)-f\left( {{\mathbf{x}}_{0}} \right)\)è definito da \(p\left( \mathbf{h} \right)={{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\mathbf{h}\), che rappresenta una forma quadratica, considerato che la matrice Hessiana \(\mathbf{H}\) è una matrice simmetrica. In pratica i punti vengono catalogati studiando le concavità.
Si osserva che \(\mathbf{H}\) essendo una matrice simmetrica ammette sicuramente \(n\) autovalori reali.

Studio del segno di una forma quadratica

– Una forma quadratica è definita positiva se \({{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\mathbf{h}>0\,\,\,\,\forall \mathbf{h}\), e questo si verifica se tutti gli autovalori di \(\mathbf{H}\)  sono strettamente positivi. In questo caso il punto  \({{\mathbf{x}}_{0}}\) è un punto di minimo.
– Una forma quadratica è definita negativa se \({{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\mathbf{h}<0\,\,\,\,\forall \mathbf{h}\), e questo si verifica se tutti gli autovalori di \(\mathbf{H}\)sono strettamente negativi. In questo caso il punto  \({{\mathbf{x}}_{0}}\) è un punto di massimo.
– Una forma quadratica è indefinita se esistono almeno due vettori \({{\mathbf{h}}_{1}}\) e \({{\mathbf{h}}_{2}}\)  per cui \({{\mathbf{h}}_{1}}^{T}\mathbf{H}\,{{\mathbf{h}}_{1}}>0\)e \({{\mathbf{h}}_{2}}^{T}\mathbf{H}\,{{\mathbf{h}}_{2}}<0\). Questo si verifica se almeno due autovalori di \(\mathbf{H}\) hanno segno opposto.
– Una forma quadratica è semidefinita positiva, se ha tutti gli autovalori positivi o nulli, mentre è semidefinita negativa se tutti gli autovalori sono negativi o nulli. In questi casi si dice che la matrice Hessiana è degenere. Il determinante della matrice Hessiana in questi casi è nullo, \(\det \mathbf{H}=0\)essendo esso il prodotto degli autovalori. \(\det \mathbf{H}=\prod{{{\lambda }_{i}}}\) .
In pratica, significa che esistono direzioni lungo le quali la derivata seconda si annulla e non è possibile studiarne la concavità. In questi casi, teoricamente, se si volessero trarre conclusioni attraverso lo studio delle derivate successive sarebbe necessario derivare oltre il secondo ordine.
Osservazione: Una forma quadratica ha segno costante lungo qualunque retta passante per l’origine definita da \(\lambda \mathbf{h}\) . Infatti \(p\left( \lambda \,\mathbf{h} \right)=\lambda {{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\lambda \mathbf{h}={{\lambda }^{2}}{{\mathbf{h}}^{T}}\mathbf{H}\,\mathbf{h}\), qualunque sia \(\lambda \) , la forma quadratica viene moltiplicata sempre per una quantità positiva.

Talvolta il calcolo esplicito degli autovalori della matrice Hessiana può risultare scomodo.  Per questo si possono utilizzare delle tecniche alternative che sono il criterio di Sylvester oppure il metodo di Cartesio per determinare il segno degli autovalori e quindi la segnatura della forma quadratica.

CRITERIO DI SYLVESTER (metodo dei minori nord-ovest )

Il metodo dei minori nord-ovest afferma che una matrice quadrata \(\mathbf{H}\), siano \({{d}_{i}}\)i determinanti dei minori nord-ovest ottenuti tagliando le ultime \(n-i\) righe e le ultime\(n-i\)colonne .
Esempio:  \(\mathbf{H}=\left( \begin{matrix}
a & b & c  \\
d & e & f  \\
g & h & i  \\
\end{matrix} \right)\,\,\,\,\,{{d}_{0}}=\det \left( \begin{matrix}
a & b & c  \\
d & e & f  \\
g & h & i  \\
\end{matrix} \right)\,\,\,{{d}_{1}}=\det \left( \begin{matrix}
a & b  \\
d & e  \\
\end{matrix} \right)\,\,\,\,{{d}_{2}}=\det \left( a \right)\(
Se \(\exists {{d}_{i}}=0\) allora il criterio non da informazioni. Se invece \({{d}_{i}}\ne 0\,\,\,\forall i\) allora:
– \(\mathbf{H}\)è definita positiva se tutti i minori nord-ovest hanno determinante strettamente positivo (MINIMO LOCALE).
– \(\mathbf{H}\)è definita negativa se i minori nord-ovest sono tali che \({{\left( -1 \right)}^{i}}{{d}_{i}}>0\)(MASSIMO LOCALE) .

– In tutti gli altri casi \(\mathbf{H}\)è indefinita.

METODO DI CARTESIO

Teorema: Sia \(p\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+…+{{a}_{k}}{{x}^{k}}\) , un polinomio di grado \(n\) con tutte le radici reali. \({{a}_{k}}\) è l’ultimo coefficiente non nullo associato al polinomio (quindi \({{a}_{k-1}}=….={{a}_{1}}={{a}_{0}}=0\) ).
Senza calcolare esplicitamente le radici si ha che: Questo teorema si può sempre

– \({{R}_{0}}=k\) è il numero delle radici nulle
– \({{R}_{+}}=\) numero di radici positive corrisponde con il numero di variazioni di segno nei coefficienti.
– \({{R}_{-}}=\) numero di radici negative corrisponde con il numero di permanenze di segno.

Questo teorema si può sempre applicare, perché il polinomio caratteristico di una matrice simmetrica ammette senz’altro \(n\) radici reali. E’ decisamente la tecnica migliore per decidere la segnatura perché funziona in tutti i casi e soprattutto evita di calcolare esplicitamente gli autovalori (radici del polinomio caratteristico).

esercizi su massimi e minimi

Consideriamo \(f:A\to \mathbb{R}\) con \(A\subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}\) aperto e \(B\subseteq A\) . Diremo che \({{\mathbf{x}}_{0}}\) è un punto di massimo o di minimo sul vincolo \(B\) se \({{\mathbf{x}}_{0}}\)è di massimo o di minimo per la restrizione di \(f\) a \(B\) .
Consideriamo due tipi di vincoli unidimensionali
1. \(B\) è il grafico di una funzione di x o di y (esempio y=g(x))
2. \(B\) è il sostegno di una curva nel piano \(\varphi \left( t \right)=\left( x\left( t \right)\,\,\,\,y\left( t \right) \right)\) con \(t\in I\) .
In entrambi i casi si sta cercando il massimo e il minimo di una funzione percorrendola lungo una curva. Nel primo caso basta porre h(x)=f(x,g(x)) per ottenere una funzione in una sola variabile e si studiano massimi e minimi di h(x) al variare di x nell’insieme di definizione. Nel secondo si pone \(h\left( t \right)=f\left( \varphi \left( t \right) \right)\) e si cercano al variare di \(t\) nell’intervallo \(I\) i massimi e minimi. Nel secondo caso bisogna fare attenzione al verso di percorrenza indotto dalla parametrizzazione.

MASSIMI E MINIMI SU INSIEMI COMPATTI

Consideriamo \(f:A\to \mathbb{R}\) con \(A\subseteq {{\mathbb{R}}^{n}}\) aperto e \(C\subseteq A\) . Per il teorema di Weierstrass \(f\) ammette sicuramente massimo e minimo assoluti su \(C\) .
Per individuarli bisogna usare questa procedura.
– Si pone \(\nabla f=\mathbf{0}\) e bisogna individuare eventuali punti stazionari all’interno del compatto.
– Studiare la funzione lungo il bordo e individuare i punti di massimo e minimo lungo il bordo.
– Confrontare tutti i punti individuati (interni e bordo) e cercare selezionare il più grande e il più piccolo rispettivamente.

MOLTIPLICATORI DI LAGRANGE

Massimi e minimi di funzioni \(f\)  di \(I\) variabili e \(J\) vincoli di frontiera \(\vec{g}\left( {\vec{x}} \right)=\vec{0}\) . E’ possibile ridurre i punti stazionari a quelli di una terza funzione detta Lagrangiana.
\(\Lambda \left( \vec{x},\vec{\lambda } \right)=f\left( {\vec{x}} \right)+\vec{\lambda }\centerdot \vec{g}\left( {\vec{x}} \right)=f\left( {\vec{x}} \right)+\sum\limits_{j=1}^{J}{{}}{{\lambda }_{j}}\centerdot {{g}_{j}}\left( {\vec{x}} \right)\)
Si introducono tante variabili \({{\lambda }_{j}}\) scalari per quanti sono i vincoli.

Nel caso particolare \(g\left( x,y \right)=0\) e \(f:{{\mathbb{R}}^{2}}\to \mathbb{R}\) , si ha:
\(\Lambda (x,y,\lambda )=f\left( x,y \right)+\lambda g\left( x,y \right)\)
I punti di massimo e minimo vanno cercati ponendo

\(\nabla \Lambda =0\,\,\,\,\left( \begin{align}& {{f}_{x}}+\lambda {{g}_{x}} \\& {{f}_{x}}+\lambda {{g}_{x}} \\& \,\,\,\,\,\,g \\\end{align} \right)\)

Si ottiene il sistema:

\(\left\{ \begin{align}& {{f}_{x}}=-\lambda {{g}_{x}} \\& {{f}_{y}}=-\lambda {{g}_{y}} \\& g=0 \\\end{align} \right.\)
A questo punto se si vogliono cercare i punti di massimo e minimo assoluti, si può provare a verificare le ipotesi del teorema di  Weierstress , per il quale massimo e minimo esistono sicuramente, quindi basta confrontare tra di loro i punti stazionari della Lagrangiana e selezionare il valore più alto come massimo e il valore più basso come minimo.
Se invece si vogliono catalogare tutti i punti stazionari trovati, allora si può effettuare il test dell’Hessiana sulla Lagrangiana.

\({{\mathbf{H}}_{\Lambda }}=\left( \begin{matrix}{{f}_{xx}}+\lambda {{g}_{xx}} &{{f}_{xy}}+\lambda {{g}_{xy}} & \lambda {{g}_{x}} \\{{f}_{xy}}+\lambda {{g}_{xy}} & {{f}_{xx}}+\lambda {{g}_{xx}} & \lambda {{g}_{y}} \\\lambda {{g}_{x}} & \lambda{{g}_{y}} & 0 \\\end{matrix} \right)\)

Lezioni di Analisi Matematica 2


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.