Coefficiente binomiale e binomio di Newton

Coefficiente binomiale e binomio di Newton

In questa sezione vediamo la definizione di coefficiente binomiale e dimostrazione di binomio di Newton.

Iniziamo con una definizione, cioè il coefficiente binomiale:

\(\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\)

Questo coefficiente è usato nel calcolo combinatorio per calcolare il numero di combinazioni che si possono avere di n oggetti presi k alla volta.

Sicuramente avrete sentito parlare del triangolo di Tartaglia per ottenere la potenza n-esima di un generico binomio \({{\left( a+b \right)}^{N}}\) .

elevamento a potenza di un biomio

Vediamo ad esempio che attraverso questo schema posso scrivere

\({{\left( a+b \right)}^{0}}=1\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+\)\(6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}\) e così via..

Un modo più elegante e comodo per ottenere lo stesso risultato e sfruttarlo in dimostrazioni successive è la formula del binomio di Newton:

\({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\)

Dimostrazione binomio di newton

A questo punto andiamo a dimostrarlo con il principio dell’induzione:

Sia  \({{P}_{n}}\) : \(\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}\) \(\left( \begin{align}  & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}\), la proprietà matematica dipendente da n che vogliamo dimostrare.

Partiamo dal dimostrare che è vero per \({{n}_{0}}=0\),  e vediamo immediatamente che risulta verificata \({{\left( a+b \right)}^{0}}=\sum\limits_{k=0}^{0}{\left( \begin{align}  & 0 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{0-k}}}=\frac{0!}{0!}{{a}^{0}}{{b}^{0}}\)  .

Poi andiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero (Ipotesi) \({{P}_{n-1}}:\,\,\,\,\,{{\left( a+b \right)}^{n-1}}=\)\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-1-k}}}\) allora vediamo se attraverso regolari passaggi matematici riusciamo a ottenere (Tesi) \({{P}_{n}}\) .

In questo modo avremo dimostrato l’implicazione \({{P}_{n-1}} \Rightarrow {{P}_{n}} \)

Per prima cosa moltiplichiamo entrambi i membri per \(\left( a+b \right)\) e si ottiene: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\) \(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-1-k}}\left( a+b \right)}=\)

=\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k+1}}{{b}^{n-k-1}}}\) =  \(+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(={{a}^{n}}+\) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{}}\)\(\left[ \left( \begin{align}  & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right) \right.\) \(+\left. \left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right) \right]\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}^{n}+{{b}^{n}}\)

A questo punto osserviamo che la quantità nella parentesi quadra può essere semplificata come segue:

\(\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right)\) \(+\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right)\)  \(=\,\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k!\left( n-1-k \right)!}\) \(=\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)\left( n-1-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k\left( k-1 \right)!\left( n-1-k \right)!}\) \(=\left( n-1 \right)!\frac{k+n-k}{k\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)\left( n-1-k \right)!}\)  \(=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\)  \(=\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)\)

E ritornando all’espressione si può scrivere:

\({{\left( a+b \right)}^{n}}\) = \({{a}^{n}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\)  \(\left(\begin{align}  & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}+{{b}^{n}}\)

\(\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}\) \(\left( \begin{align}  & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}\)  che corrisponde a \({{P}_{n}}\)

Non importa quanto complicato sia il tuo esame di analisi matematica o se l’esame è improntato più su questioni teoriche o più su aspetti pratici della materia. In ogni caso saprò renderti la vita più semplice grazie alle mie ripetizioni di analisi matematica. Grazie alla mia esperienza con centinaia di docenti diversi saprei adattarmi senza difficoltà ad ogni tipo di situazione.

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Anche perchè insegnare e conoscere una materia non è la stessa cosa. Nessuno può guidarti meglio verso la preparazione dell’esame se non chi possiede entrambi le doti combinate con l’esperienza giusta.

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.