Coefficiente binomiale e binomio di Newton
In questa sezione vediamo la definizione di coefficiente binomiale e dimostrazione di binomio di Newton.
Iniziamo con una definizione, cioè il coefficiente binomiale:
\(\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\)
Questo coefficiente è usato nel calcolo combinatorio per calcolare il numero di combinazioni che si possono avere di n oggetti presi k alla volta.
Sicuramente avrete sentito parlare del triangolo di Tartaglia per ottenere la potenza n-esima di un generico binomio \({{\left( a+b \right)}^{N}}\) .
Vediamo ad esempio che attraverso questo schema posso scrivere
\({{\left( a+b \right)}^{0}}=1\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) ,
\({{\left( a+b \right)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+\)\(6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}\) e così via..
Un modo più elegante e comodo per ottenere lo stesso risultato e sfruttarlo in dimostrazioni successive è la formula del binomio di Newton:
\({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\)
Dimostrazione binomio di Newton
A questo punto andiamo a dimostrarlo con il principio dell’induzione:
Sia \({{P}_{n}}\) : \(\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}\) \(\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}\), la proprietà matematica dipendente da n che vogliamo dimostrare.
Partiamo dal dimostrare che è vero per \({{n}_{0}}=0\), e vediamo immediatamente che risulta verificata \({{\left( a+b \right)}^{0}}=\sum\limits_{k=0}^{0}{\left( \begin{align} & 0 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{0-k}}}=\frac{0!}{0!}{{a}^{0}}{{b}^{0}}\) .
Poi andiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero (Ipotesi) \({{P}_{n-1}}:\,\,\,\,\,{{\left( a+b \right)}^{n-1}}=\)\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-1-k}}}\) allora vediamo se attraverso regolari passaggi matematici riusciamo a ottenere (Tesi) \({{P}_{n}}\) .
In questo modo avremo dimostrato l’implicazione \({{P}_{n-1}} \Rightarrow {{P}_{n}} \)
Per prima cosa moltiplichiamo entrambi i membri per \(\left( a+b \right)\) e si ottiene: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\) \(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-1-k}}\left( a+b \right)}=\)
=\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k+1}}{{b}^{n-k-1}}}\) = \(+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(={{a}^{n}}+\) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{}}\)\(\left[ \left( \begin{align} & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right) \right.\) \(+\left. \left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right) \right]\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}^{n}+{{b}^{n}}\)
A questo punto osserviamo che la quantità nella parentesi quadra può essere semplificata come segue:
\(\left( \begin{align} & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right)\) \(+\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right)\) \(=\,\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k!\left( n-1-k \right)!}\) \(=\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)\left( n-1-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k\left( k-1 \right)!\left( n-1-k \right)!}\) \(=\left( n-1 \right)!\frac{k+n-k}{k\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)\left( n-1-k \right)!}\) \(=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\) \(=\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)\)
E ritornando all’espressione si può scrivere:
\({{\left( a+b \right)}^{n}}\) = \({{a}^{n}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\) \(\left(\begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}+{{b}^{n}}\)
\(\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}\) \(\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}\) che corrisponde a \({{P}_{n}}\)
