Coefficiente binomiale e binomio di Newton

Coefficiente binomiale e binomio di Newton

In questa sezione vediamo la definizione di coefficiente binomiale e dimostrazione di binomio di Newton.

Iniziamo con una definizione, cioè il coefficiente binomiale:

\(\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\)

Questo coefficiente è usato nel calcolo combinatorio per calcolare il numero di combinazioni che si possono avere di n oggetti presi k alla volta.

Sicuramente avrete sentito parlare del triangolo di Tartaglia per ottenere la potenza n-esima di un generico binomio \({{\left( a+b \right)}^{N}}\) .

triangolo di Tartaglia
triangolo di Tartaglia

Vediamo ad esempio che attraverso questo schema posso scrivere

\({{\left( a+b \right)}^{0}}=1\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{1}}=a+b\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{2}}={{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{3}}={{a}^{3}}+3{{a}^{2}}b+3a{{b}^{2}}+{{b}^{3}}\) ,

\({{\left( a+b \right)}^{4}}={{a}^{4}}+4{{a}^{3}}b+\)\(6{{a}^{2}}{{b}^{2}}+4a{{b}^{3}}+{{b}^{4}}\) e così via..

Un modo più elegante e comodo per ottenere lo stesso risultato e sfruttarlo in dimostrazioni successive è la formula del binomio di Newton:

\({{\left( a+b \right)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}{\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\)

Dimostrazione binomio di Newton

A questo punto andiamo a dimostrarlo con il principio dell’induzione:

Sia  \({{P}_{n}}\) : \(\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}\) \(\left( \begin{align}  & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}\), la proprietà matematica dipendente da n che vogliamo dimostrare.

Partiamo dal dimostrare che è vero per \({{n}_{0}}=0\),  e vediamo immediatamente che risulta verificata \({{\left( a+b \right)}^{0}}=\sum\limits_{k=0}^{0}{\left( \begin{align}  & 0 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{0-k}}}=\frac{0!}{0!}{{a}^{0}}{{b}^{0}}\)  .

Poi andiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero (Ipotesi) \({{P}_{n-1}}:\,\,\,\,\,{{\left( a+b \right)}^{n-1}}=\)\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-1-k}}}\) allora vediamo se attraverso regolari passaggi matematici riusciamo a ottenere (Tesi) \({{P}_{n}}\) .

In questo modo avremo dimostrato l’implicazione \({{P}_{n-1}} \Rightarrow {{P}_{n}} \)

Per prima cosa moltiplichiamo entrambi i membri per \(\left( a+b \right)\) e si ottiene: \({{\left( a+b \right)}^{n}}=\) \(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-1-k}}\left( a+b \right)}=\)

=\(\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k+1}}{{b}^{n-k-1}}}\) =  \(+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(=\sum\limits_{k=1}^{n}{\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(+\sum\limits_{k=0}^{n-1}{\left( \begin{align} & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right){{a}^{k}}{{b}^{n-k}}}\) \(={{a}^{n}}+\) \(\sum\limits_{k=1}^{n-1}{{}}\)\(\left[ \left( \begin{align}  & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right) \right.\) \(+\left. \left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right) \right]\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}^{n}+{{b}^{n}}\)

A questo punto osserviamo che la quantità nella parentesi quadra può essere semplificata come segue:

\(\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k-1 \\ \end{align} \right)\) \(+\left( \begin{align}  & n-1 \\ & k \\ \end{align} \right)\)  \(=\,\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k!\left( n-1-k \right)!}\) \(=\frac{\left( n-1 \right)!}{\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)\left( n-1-k \right)!}+\frac{\left( n-1 \right)!}{k\left( k-1 \right)!\left( n-1-k \right)!}\) \(=\left( n-1 \right)!\frac{k+n-k}{k\left( k-1 \right)!\left( n-k \right)\left( n-1-k \right)!}\)  \(=\frac{n!}{k!\left( n-k \right)!}\)  \(=\left( \begin{align} & n \\ & k \\ \end{align} \right)\)

E ritornando all’espressione si può scrivere:

\({{\left( a+b \right)}^{n}}\) = \({{a}^{n}}+\sum\limits_{k=1}^{n-1}\)  \(\left(\begin{align}  & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}+{{b}^{n}}\)

\(\sum\limits_{k=0}^{n}{{}}\) \(\left( \begin{align}  & n \\ & k \\ \end{align} \right)\) \({{a}^{k}}{{b}^{n-k}}\)  che corrisponde a \({{P}_{n}}\)

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