Equazioni in campo complesso

Teorema fondamentale dell’algebra

Il teorema fondamentale dell’algebra ci dice quante soluzioni aspettarci da un equazione polinomiale \(p_n\left ( z \right )=0\) dove \(p_n(z)\) è un qualunque polinomio di grado n a coefficienti reali o complessiz è la variabile complessa.

Il teorema afferma che ogni polinomio di grado \(n\ge 1\) , a coefficienti reali o complessi \(p\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+..\)\(+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}\) ammette esattamente n radici complesse (con o senza molteplicità) e un numero \(k\le n\)  di radici reali.

Noi in questa lezione andremo a trattare le equzioni in campo complesso, e ci verrà sicuramente in aiuto il teorema fondamentale dell’algebra.

 

Equazioni algebriche e non algebriche

Una prima distinzione che si può fare per le equazioni complesse è tra equazioni algebriche e non algebriche. Le prime sono uguaglianze tra polinomi a coefficienti complessi. Le seconde invece si contraddistinguono dalle prime per la presenza di operatori prettamente complessi quali il modulo, l’argomento, la parte reale e parte immaginaria, coniugato.

Per fare alcuni esempi ed intenderci meglio alcune equazioni algebriche sono \(\left ( z-i \right )^7 = 3+i\), oppure \( z^2+z+1=0\) oppure \((3+i)z^3+2i=0\).

Esse infatti sono tutte riconducibili alla forma estesa \(p\left( x \right)={{a}_{n}}{{x}^{n}}+{{a}_{n-1}}{{x}^{n-1}}+..+{{a}_{1}}x+{{a}_{0}}\) attraverso una serie di operazioni algebriche.

Sono equazioni non algebriche \(\left | z+i \right |=\left | z-2 \right |\), oppure \(\Re \left ( z \right )+2=0\) per la presenza di operatori puramente complessi che sono il modulo, l’operatore parte reale.

Come risolvere equazioni algebriche

Le equazioni algebriche possono essere risolte come si fa normalmente con i reali (formula risolutiva di equazioni di secondo grado, sostituzioni varie, eccetera), tenendo presente che le radici vanno intese in senso complesso e trattate con la formula di De Moivre. Questo è importante per evitare di perdere soluzioni. Bisogna comunque avere in mente che un’equazione algebrica di grado n per il teorema fondamentale dell’algebra ammette n soluzioni (ma delle soluzioni possono essere ripetute, se c’è la molteplicità).]

Equazioni non algebriche

Le equazioni non algebriche possono essere risolte sostituendo nell’espressione l’incognita z con z = x + iy. Fatto ciò si isola parte reale e parte immaginaria arrivando a scrivere l’espressione nella forma

\(A\left( x,y \right)+iB\left( x,y \right)=0\)

E infine si scrive il sistema che annulla contemporaneamente sia la parte reale che la parte immaginaria. Per finire bisogna trovare le coppie (x,y) di soluzioni reali tenendo presente che sia x che y sono numeri reali

\(\left\{ \begin{align}
& A\left( x,y \right)=0 \\
& B\left( x,y \right)=0 \\
\end{align} \right.\)

Naturalmente in questo caso non vale il teorema fondamentale dell’algebra e quindi non sappiamo quante soluzioni aspettarci.

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.