Formula di De Moivre – Potenza di un numero complesso

Per elevare a potenza un numero complesso si potrebbe moltiplicare il numero n volte per se stesso, ma l’operazione risulta particolarmente scomoda al crescere dell’esponente. Molto meglio invece utilizzare la formula di De Moivre:
\({{z}^{n}}={{\left[ \rho \left( \cos \theta +i\sin \theta  \right) \right]}^{n}}=\)\({{\rho }^{n}}\left( \cos \left( n\,\theta  \right)+i\sin \left( n\,\theta  \right) \right)\)

che permette di semplificare i conti utilizzando il numero complesso scritto in forma trigonometrica. Questa formula si dimostra per induzione attraverso la formula del prodotto.

Dimostrazione

Andiamo a dimostrare per induzione La formula di De Moivre:
Primo passo: \({{z}^{2}}={{\rho }^{2}}\left( \cos \left( 2\,\theta  \right)+i\sin \left( 2\,\theta  \right) \right)\)  . Vero: basta osservare che \({{z}^{2}}=z\cdot z\) e applicare la formula del prodotto.
Per dimostrare il passo induttivo, ipotizzo vero che \({{P}_{n}}:\,\,\,\,{{z}^{n}}={{\rho }^{n}}\left( \cos \left( n\,\theta  \right)+i\sin \left( n\,\theta  \right) \right)\) e devo dimostrare che attraverso regolari passaggi matematici posso arrivare a scrivere \({{P}_{n+1}}\) .
Moltiplico entrambi i membri per \({{P}_{n}}\) , e usando la formula del prodotto tra complessi in forma trigonometrica arrivo alla tesi. \({{z}^{n}}\cdot z=\)\({{\rho }^{n}}\left( \cos \left( n\,\theta  \right)+i\sin \left( n\,\theta  \right) \right)\)\(\rho \left( \cos \theta +i\sin \theta  \right)\)\(\Rightarrow \) \({{z}^{n+1}}={{\rho }^{n+1}}( \cos \left[ \left( n+1 \right)\,\theta  \right]+\)\(i\sin \left[ \left( n+1 \right)\,\theta  \right])\).

Anche nel passo induttivo si è sfruttata la formula del prodotto dimostrata prima.

Potenza di un numero complesso in forma esponenziale

Anche in questo caso, come per il prodotto, risulta più semplice e intuitivo se si lavora con la forma esponenziale:
\({{z}^{n}}={{\left( \rho \,{{e}^{i\theta }} \right)}^{n}}={{\rho }^{n}}{{e}^{in\theta }}\)
Dove anniamo applicato semplicemente le regole delle potenze come se non fossimo in ambito complesso.
Se il numero è dato in forma algebrica conviene prima trasformato in forma esponenziale.
Il numero complesso risultante si trova sul piano di gauss ad una distanza pari a \({{\rho }^{n}}\)  dall’origine e risulta ruotato rispetto al semiasse positivo delle x di una quantità pari a \(n\theta \)  .

potenza di un numero complesso nel piano di Gauss

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.