Operazioni algebriche con i numeri complessi

Sommare due numeri complessi

La lezione è dedicata a somma e prodotto di numeri complessi e andiamo subito al sodo cominciando dalla somma.

La somma o differenza tra numeri complessi si ottiene semplicemente sommando o sottraendo tra loro rispettivamente parti reali e parti immaginarie.
Ad esempio se si vuole sommare \({{z}_{1}}=1+2i\)  e \({{z}_{2}}=2-4i\)  , si ha che la somma vale \(s={{z}_{1}}+{{z}_{2}}=\)\(\left( 1+2 \right)+i\left( 2-4 \right)=3-2i\)

somma tra numeri complessi - Regola del parallelogramma

 somma tra numeri complessi – Regola del parallelogramma

 

Elevare a potenza l’unità immaginaria

Partiamo ricordando che l’unità immaginaria \(i\) è quel numero che moltiplicato per se stesso da -1 , infatti \({{i}^{2}}=-1\), \({{i}^{3}}={{i}^{2}}i=-i\), \({{i}^{4}}={{i}^{2}}{{i}^{2}}=\left( -1 \right)\left( -1 \right)=+1\), e poi si ricomincia perché \({{i}^{5}}={{i}^{4}}i=i\)  .
Le potenze successive si ripetono ciclicamente ogni 4.
Ad esempio \({{i}^{123}}={{i}^{120}}{{i}^{3}}=-i\)   dove 120 è il multiplo di 4 più vicino a 123.

Prodotto tra due numeri complessi

In forma algebrica il prodotto tra due numeri si ottiene facendo tutti i prodotti come in una moltiplicazione tra due binomi.

\({{z}_{1}}={{a}_{1}}+i{{b}_{1}}\) , \({{z}_{2}}={{a}_{2}}+i{{b}_{2}}\)

\(z_{1}^{{}}{{z}_{2}}=\left( {{a}_{1}}+i{{b}_{1}} \right)\left( {{a}_{2}}+i{{b}_{2}} \right)=\)\({{a}_{1}}{{a}_{2}}+i{{a}_{1}}{{b}_{2}}+i{{b}_{1}}{{a}_{2}}+{{i}^{2}}{{b}_{1}}{{b}_{2}}=\)\(\left( {{a}_{1}}{{a}_{2}}-{{b}_{1}}{{b}_{2}} \right)+i\left( {{a}_{1}}{{b}_{2}}+{{b}_{1}}{{a}_{2}} \right)\)

In forma trigonometrica è possibile applicare la formula che poi andremo a dimostrare ed è la seguente:

\(z_{1}^{{}}{{z}_{2}}=\)\(\rho _{1}^{{}}{{\rho }_{2}}\left[ \cos \left( \theta _{1}^{{}}+{{\theta }_{2}} \right)+i\sin \left( \theta _{1}^{{}}+{{\theta }_{2}} \right) \right]\)

Dimostrazione

Dimostriamolo per prima cosa usando la forma trigonometrica, scrivendo in questa forma i due numeri complessi.

\(z_{1}^{{}}=\rho _{1}^{{}}\left[ \cos \left( \theta _{1}^{{}} \right)+i\sin \left( \theta _{1}^{{}} \right) \right]\),

\(z_{2}^{{}}=\rho _{2}^{{}}\left[ \cos \left( \theta _{2}^{{}} \right)+i\sin \left( \theta _{2}^{{}} \right) \right]\)

\(z_{1}^{{}}{{z}_{2}}= \)\( \rho _{1}^{{}}[ \cos \left( \theta _{1}^{{}} \right)+i\sin \left( \theta _{1}^{{}} \right)]\)\(\rho _{2}^{{}}\left[ \cos \left( \theta _{2}^{{}} \right)+i\sin \left( \theta _{2}^{{}} \right) \right]=\)\(\rho _{1}^{{}}\rho _{2}^{{}} \cos \theta _{1}^{{}}\cos \theta _{2}^{{}}-\sin \theta _{1}^{{}}\sin \theta _{2}^{{}}+\)\(i\left( \sin \theta _{1}^{{}}\cos \theta _{2}^{{}}+\cos \theta _{1}^{{}}\sin \theta _{2}^{{}} \right)]\)

Da cui basta applicare le formule di addizione di seno e coseno.
Il modo più semplice di ricordare questa formula è pensarla in forma esponenziale.
\(z_{1}^{{}}{{z}_{2}}=\rho _{1}^{{}}{{e}^{i{{\theta }_{1}}}}\rho _{2}^{{}}{{e}^{i{{\theta }_{2}}}}=\rho _{1}^{{}}\rho _{2}^{{}}{{e}^{i\left( {{\theta }_{1}}+{{\theta }_{2}} \right)}}\)
In questo caso non c’è niente da dimostrare basta ricordare le proprietà delle potenze. Il prodotto di esponenziali con la stessa base da un esponenziale con la stessa base e con esponente la somma degli esponenti.

Rapporto tra due numeri complessi

Sia \(z=a+ib\) un numero complesso, si può scrivere: \({{\left| z \right|}^{2}}=z\,\bar{z}\)  infatti: \(z=\rho \,{{e}^{i\ \theta }}\), \(\bar{z}=\rho \,{{e}^{-i\theta }}\) , \({{\left| z \right|}^{2}}=z\,\bar{z}={{\rho }^{2}}{{e}^{i\left( \theta -\theta  \right)}}={{\rho }^{2}}\)
Quindi: \(\left( a+ib \right)\left( a-ib \right)={{a}^{2}}+{{b}^{2}}\)
È possibile questa proprietà per dividere numeri complessi, cioè se si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore si ottiene un numero reale e positivo al denominatore
Vediamo subito un esempio di divisone tra numeri complessi per chiarirci meglio le idee.

Vogliamo dividere: \(\frac{1-i}{3+2i}=\)

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, e svolgendo i conti si ottiene:

\(\frac{1-i}{3+2i}\frac{3-2i}{3-2i}=\frac{3-2i-3i+2{{i}^{2}}}{9+4}=\frac{1}{13}-\frac{5}{13}i\)

Lezioni di Analisi Matematica


Autore: Ing. Casparriello Marco

Lezioni di matematica e fisica a cura di Marco Casparriello.