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Calcolo delle radici di un numero complesso, passando per la forma trigonometrica
Un numero complesso \(z\)ammette sempre n radici complesse, che corrispondono ad n punti del piano di Gauss equi distanziati lungo una circonferenza di raggio pari alla radice n-esima del modulo di \(z\) , ovvero \(r=\sqrt[n]{\rho }\) e centro nell’origine. Esse corrispondono ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonfernza.
Per calcolare le radici è possibile sfruttare la formula di De Moivre.
\({{r}_{k}}=\sqrt[n]{z}=\) \(\sqrt[n]{\rho \,{{e}^{i\theta +2ik\pi }}}\) \(=\sqrt[n]{\rho }\,\,{{e}^{i\,\left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)}}\)\(k=0,..,n-1\)
Che equivale al sistema:
\[\left\{ \begin{align} & R=\sqrt[n]{\rho } \\ & R>0 \\ & {{\theta }_{k}}=\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}\,\,\,k=0,..,n-1 \\ \end{align} \right.\]
Le radici soluzioni sono:
\({{r}_{k}}=\sqrt[n]{\rho }\,\,\left( \cos {{\theta }_{k}}+i\,\sin {{\theta }_{k}} \right)\)
Dove \({{\theta }_{k}}=\frac{\theta +2k\pi }{n}\) , \(k=0,..,n-1\)
Anche in questo caso, come per la potenza di un numero complesso, è più semplice e intuitivo da ricordare in forma esponenziale.
Esempio 1 di calcolo delle radici di un numero complesso
Dato\({{z}_{0}}=4\), calcolare le radici complesse di indice \(n=4\) .
Primo passo. Scrivo \({{z}_{0}}\) in forma esponenziale o trigonometrica.
\({{z}_{0}}=4{{e}^{i\,\cdot 0}}=4\,\left( \cos 0+i\sin 0 \right)\)
Secondo passo. Applico la formula di De Moivre con \(n=4\) :
\({{z}_{k}}=\sqrt[4]{4}{{e}^{i\,\frac{0+2ik\pi }{4}}}\)\(=\sqrt{2}\,\left( \cos k\frac{\pi }{2}+i\sin k\frac{\pi }{2} \right)\)\(k=0,1,2,3\)
Terzo passo. Passo dalla forma trigonometrica alla forma algebrica:
\({{z}_{0}}=\left( \cos 0+i\sin 0 \right)=\sqrt{2}\)
\({{z}_{1}}=\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt{2}i\)
\({{z}_{2}}=\sqrt{2}\left( \cos \pi +i\sin \pi \right)=-\sqrt{2}\)
\({{z}_{3}}=\sqrt{2}\left( \cos 3\frac{\pi }{2}+i\sin 3\frac{\pi }{2} \right)=-\sqrt{2}i\)
Esempio 2 di calcolo di radici di un numero complesso
Dato\({{z}_{0}}=4i\), calcolare le radici complesse di indice \(n=2\).
Primo passo. Scrivo \({{z}_{0}}=4i=4\cdot {{e}^{i\frac{\pi }{2}}}\) in forma esponenziale.
Secondo passo. Applico la formula di De Moivre con \(n=2\):
\({{z}_{k}}=\sqrt[4]{4}{{e}^{i\,\frac{\frac{\pi }{2}+2ik\pi }{4}}}\)\(=2\,\left( \cos \frac{\pi }{4}+k\pi +i\sin \frac{\pi }{4}+k\pi \right)\) \(k=0,1\)
Terzo passo. Passaggio dalla forma trigonometrica alla forma algebrica del numero complesso:
\({{z}_{0}}=2\,\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)
\({{z}_{1}}=2\,\left( \cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i\)
