Radici di un numero complesso  – Formula di De Moivre

Un numero complesso \(z\)ammette sempre n radici complesse, che corrispondono ad n punti del piano di Gauss equi distanziati lungo una circonferenza di raggio pari alla radice n-esima del modulo di \(z\) , ovvero \(r=\sqrt[n]{\rho }\)  e centro nell’origine. Esse corrispondono ai vertici di un poligono regolare di n lati inscritto nella circonfernza.

Per calcolare le radici è possibile sfruttare la formula di De Moivre.

\({{r}_{k}}=\sqrt[n]{z}=\) \(\sqrt[n]{\rho \,{{e}^{i\theta +2ik\pi }}}\) \(=\sqrt[n]{\rho }\,\,{{e}^{i\,\left( \frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n} \right)}}\)\(k=0,..,n-1\)

Che equivale al sistema:

\(\left\{ \begin{align}
& R=\sqrt[n]{\rho } \\
& R>0 \\
& {{\theta }_{k}}=\frac{\theta }{n}+\frac{2k\pi }{n}\,\,\,k=0,..,n-1 \\
\end{align} \right.\)

Le radici soluzioni sono:

\({{r}_{k}}=\sqrt[n]{\rho }\,\,\left( \cos {{\theta }_{k}}+i\,\sin {{\theta }_{k}} \right)\)

Dove \({{\theta }_{k}}=\frac{\theta +2k\pi }{n}\) , \(k=0,..,n-1\)

Anche in questo caso, come per la potenza di un numero complesso, è più semplice e intuitivo da ricordare in forma esponenziale.

Radici di un numero complesso sul piano di Gauss
Radici di un numero complesso viste sul piano di Gauss

Esempio 1

Dato\({{z}_{0}}=4\), calcolare le radici complesse di indice \(n=4\)  .

Primo passo. Scrivo \({{z}_{0}}\) in forma esponenziale o trigonometrica.

\({{z}_{0}}=4{{e}^{i\,\cdot 0}}=4\,\left( \cos 0+i\sin 0 \right)\)

Secondo passo. Applico la formula di De Moivre con \(n=4\) :

\({{z}_{k}}=\sqrt[4]{4}{{e}^{i\,\frac{0+2ik\pi }{4}}}\)\(=\sqrt{2}\,\left( \cos k\frac{\pi }{2}+i\sin k\frac{\pi }{2} \right)\)\(k=0,1,2,3\)

Terzo passo. Passo dalla forma trigonometrica alla forma algebrica:

\({{z}_{0}}=\left( \cos 0+i\sin 0 \right)=\sqrt{2}\)

\({{z}_{1}}=\sqrt{2}\left( \cos \frac{\pi }{2}+i\sin \frac{\pi }{2} \right)=\sqrt{2}i\)

\({{z}_{2}}=\sqrt{2}\left( \cos \pi +i\sin \pi  \right)=-\sqrt{2}\)

\({{z}_{3}}=\sqrt{2}\left( \cos 3\frac{\pi }{2}+i\sin 3\frac{\pi }{2} \right)=-\sqrt{2}i\)

Solzione dell'esercizio 1
Soluzione rappresentata sul piano di Gauss

Esempio 2

Dato\({{z}_{0}}=4i\), calcolare le radici complesse di indice \(n=2\).

Primo passo. Scrivo \({{z}_{0}}=4i=4\cdot {{e}^{i\frac{\pi }{2}}}\) in forma esponenziale.

Secondo passo. Applico la formula di De Moivre con \(n=2\):

\({{z}_{k}}=\sqrt[4]{4}{{e}^{i\,\frac{\frac{\pi }{2}+2ik\pi }{4}}}\)\(=2\,\left( \cos \frac{\pi }{4}+k\pi +i\sin \frac{\pi }{4}+k\pi  \right)\)   \(k=0,1\)

Terzo passo. Passaggio dalla forma trigonometrica alla forma algebrica del numero complesso:

\({{z}_{0}}=2\,\left( \cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4} \right)=\sqrt{2}+\sqrt{2}i\)

\({{z}_{1}}=2\,\left( \cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4} \right)=-\sqrt{2}-\sqrt{2}i\)

soluzione esercizio 2
Soluzione rappresentata sul piano di Gauss

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