Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone

Enunciato del Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone

Enunciato del teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Se una successione è monotona crescente allora il limite esiste e coincide con l’estremo superiore della successione. Se invece è monotona decrescente allora il limite esiste e coincide con l’estremo inferiore della successione.

Osservazione: la monotonia è una condizione sufficiente affinché il limite esista, ed esso può essere un numero oppure infinito.

Dimostrazione del Teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone

teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Supponiamo la successione monotona crescente \({{a}_{n+1}}\ge {{a}_{n}}\,\,\forall n\in \mathbb{N}\)

Sicuramente l’estremo superiore esiste, ed esso può essere finito \(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\) oppure infinito \(\sup {{a}_{n}}=+\infty \).

Iniziamo dal caso finito:

\(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\)
Equivale a scrivere che \(\forall \varepsilon >0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,M-\varepsilon <{{a}_{{\bar{n}}}}\le M\)
Considerando però che la successione è monotona crescente \({{a}_{n}}>{{a}_{{\bar{n}}}}\) \(\forall n>\bar{n}\) . Possiamo concludere che è possibile aggiungere \(\forall n>\bar{n}\)nella definizione di estremo superiore e si arriva a scrivere \(\forall \varepsilon >0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,;\)\(M-\varepsilon <{{a}_{{\bar{n}}}}\le M\,\,\,\forall n>\bar{n}\)che corrisponde con la definizione di limite.
E possiamo concludere che se \(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\) e la successione è monotona crescente, allora \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sup {{a}_{n}}=M\)

Andiamo ora al caso infinito:
\(\sup {{a}_{n}}=+\infty \)
Equivale a scrivere che \(\forall M>0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,{{a}_{{\bar{n}}}}>M\)
Considerando però che la successione è monotona crescente \({{a}_{n}}>{{a}_{{\bar{n}}}}\) \(\forall n>\bar{n}\) . Possiamo concludere che è possibile aggiungere \(\forall n>\bar{n}\)nella definizione di estremo superiore e si arriva a scrivere \(\forall M>0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,{{a}_{{\bar{n}}}}>M\,\,\forall n>\bar{n}\)che corrisponde con la definizione di limite.
E possiamo concludere che se \(\sup {{a}_{n}}=+\infty \) e la successione è monotona crescente, allora \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sup {{a}_{n}}=+\infty \)

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