Enunciato del teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Se una successione è monotona crescente allora il limite esiste e coincide con l’estremo superiore della successione. Se invece è monotona decrescente allora il limite esiste e coincide con l’estremo inferiore della successione.
Osservazione: la monotonia è una condizione sufficiente affinché il limite esista, ed esso può essere un numero oppure infinito.
teorema sull’esistenza del limite delle successioni monotone: Supponiamo la successione monotona crescente \({{a}_{n+1}}\ge {{a}_{n}}\,\,\forall n\in \mathbb{N}\)
Sicuramente l’estremo superiore esiste, ed esso può essere finito \(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\) oppure infinito \(\sup {{a}_{n}}=+\infty \).
Iniziamo dal caso finito:
\(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\)
Equivale a scrivere che \(\forall \varepsilon >0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,M-\varepsilon <{{a}_{{\bar{n}}}}\le M\)
Considerando però che la successione è monotona crescente \({{a}_{n}}>{{a}_{{\bar{n}}}}\) \(\forall n>\bar{n}\) . Possiamo concludere che è possibile aggiungere \(\forall n>\bar{n}\)nella definizione di estremo superiore e si arriva a scrivere \(\forall \varepsilon >0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,;\)\(M-\varepsilon <{{a}_{{\bar{n}}}}\le M\,\,\,\forall n>\bar{n}\)che corrisponde con la definizione di limite.
E possiamo concludere che se \(\sup {{a}_{n}}=M\in \mathbb{R}\) e la successione è monotona crescente, allora \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sup {{a}_{n}}=M\)
Andiamo ora al caso infinito:
\(\sup {{a}_{n}}=+\infty \)
Equivale a scrivere che \(\forall M>0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,{{a}_{{\bar{n}}}}>M\)
Considerando però che la successione è monotona crescente \({{a}_{n}}>{{a}_{{\bar{n}}}}\) \(\forall n>\bar{n}\) . Possiamo concludere che è possibile aggiungere \(\forall n>\bar{n}\)nella definizione di estremo superiore e si arriva a scrivere \(\forall M>0\,\exists \bar{n}\in \mathbb{N}\,{{a}_{{\bar{n}}}}>M\,\,\forall n>\bar{n}\)che corrisponde con la definizione di limite.
E possiamo concludere che se \(\sup {{a}_{n}}=+\infty \) e la successione è monotona crescente, allora \(\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sup {{a}_{n}}=+\infty \)
