Se un insieme reale è superiormente limitato allora l’estremo superiore esiste ed è finito.
Ovviamente il teorema vale anche per l’estremo inferiore. Guarda il video per vedere come si dimostra. Ti consiglio di munirti prima di carta e penna, così sarai più concentrato e non perderai nemmeno un passaggio!
Dimostrazione.
Se un insieme (Asubseteq mathbb{R}) è superiormente limitato allora ammette almeno un maggiorante cioè (exists xin mathbb{R},,,|,,,xge a,forall ain A) . A questo punto costruiamo l’insieme dei maggioranti di (A) che sarebbe (B=left{ xin mathbb{R}|,xge a,forall ain A right}). Per come è stato costruito l’insieme (B) vale la proprietà che (xge a,,forall xin B,,forall ain A). Per l’assioma di completezza esiste un elemento separatore (cin mathbb{R}) | (ale cle x) (forall xin B,,forall ain A) Poiché (cge a,,forall ain A) allora possiamo dire che si tratta di un maggiorante e quindi(cin B). Allo stesso tempo, siccome (cle x,,forall xin B)allora è il valore minimo dell’insieme (B). In altre parole (c) è un maggiorante ed il più piccolo tra i maggioranti, quindi è proprio l’estremo superiore dell’insieme (A) ovvero (c=sup A) . L’elemento separatore tra un insieme limitato e l’insieme dei suoi maggioranti coincide proprio con l’estremo superiore.
In questa lezione parliamo delle varie proprietà topologiche di un insieme reale. Partiamo dalla nozione di intorno. Successivamente parliamo di maggioranti e minoranti di un insieme, per poi definire il concetto di estremi superiore ed inferiore. Poi passiamo a parlare di massimo e minimo di un insieme reale. Una volta terminata questa prima parte andiamo a definire l’insieme dei punti di accumulazione, l’insieme dei punti di frontiera, punti interni, punti isolati. Vediamo come verificare se un insieme è aperto o chiuso e terminiamo con i punti di aderenza o chiusura di un insieme.
Punti di accumulazione
Definizione 1
Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\),\(accA\) è l’insieme dei punti di accumulazione di \(A\), cioè l’insieme dei punti che rispettano la definizione \(x\in accA\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) .
Definizione 2
Esiste poi una seconda definizione equivalente a quella appena data, che afferma che\(x\in accA\), se ogni suo intorno contiene infiniti elementi di \(A\). In formule si può scrivere \(x\in acc(A)\) \(\Leftrightarrow \) \(\forall \delta >0\,\,\)(anche piccolissimo)\(B=\left( x-\delta ,x+\delta \right)\cap A\backslash \left\{ x \right\}\ne \varnothing \) è un insieme infinito, cioè contiene infiniti elementi.
in generale quali sono i punti di accumulazione?
– Dato un intervallo contenuto nell’insieme A, tutti i punti che appartengono all’intervallo, inclusi gli estremi (sia che gli estremi siano compresi, sia che essi siano esclusi dall’insieme A) sono punti di accumulazione. Ad esempio dato l’intervallo \(A=[1,3)\)si ha che l’insieme dei suoi punti di accumulazione è\(acc(A)=[1,3]\) , cioè anche gli estremi sono punti di accumulazione oltre a tutti i punti interni all’intervallo. – Data una successione di punti, se essa tende ad avvicinarsi indefinitamente ad un punto, allora quel punto è di accumulazione per la successione. In termini matematici possiamo scrivere \(\forall \varepsilon >0\,\,\exists x\in {{\left\{ {{a}_{n}} \right\}}_{n\in \mathbb{N}}}\,:\,\left| x-{{x}_{0}} \right|<\varepsilon \)
esempi sui punti di accumulazione
Ad esempio la successione \({{a}_{n}}=\frac{1}{n}\) Ha come punto di accumulazione \({{x}_{0}}=0\) infatti comunque piccolo scelgo e troverò sempre un punto della successione che si discosta da \({{x}_{0}}=0\) di una quantità inferiore a d. Ad esempio se scelgo d=1/1000 sarà sufficiente scegliere n=1001 perché la definizione sia rispettata. Infatti
E questo discorso lo posso ripetere comunque piccolo scelgo e. D’altronde 1/n è una successione monotona decrescente che si avvicina indefinitamente a zero. Prendiamo ora la successione \({{a}_{n}}={{\left( -1 \right)}^{n}}+\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N}\) Può essere scomposta in due sottosuccessioni monotone come segue \({{a}_{n}}=\left\{ \begin{align} & \frac{1}{n}-1\,\,\,\,se\,n\,pari \\ & \frac{1}{n}+1\,\,\,\,se\,n\,dispari \\ \end{align} \right.\) Questa successione ammette due punti di accumulazione (1 e -1) perché al crescere di n si avvicina indefinitamente sia a 1 che a -1.
Punti isolati
Sia dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) , si ha che \({{x}_{0}}\in A\) è un punto isolato di A se \(\exists \delta >0\,\,\,:\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A=\left\{ {{x}_{0}} \right\}\) Ovvero se è possibile definire un intorno del punto in cui non ci sono altri elementi dell’insieme A oltre al punto stesso. Un punto isolato è tale se è possibile definire un estremo inferiore non nullo per la distanza che intercorre tra esso e gli altri elementi dell’insieme. Ad esempio se prendiamo l’insieme \(B=\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,x=\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\) , \(A=B\cup \left\{ 0 \right\}\)
quando non sono punti isolati?
Tutti gli elementi di A sono punti isolati ad eccezione dello zero. Eppure l’insieme B è un insieme di punti che si avvicinano sempre più allo zero senza mai raggiungerlo. Il che suggerisce che c’è uno spazio vuoto che separa l’insieme B dallo zero. Lo zero è staccato dall’insieme B, non c’è continuità, ma allo stesso tempo non è possibile misurare la lunghezza di questo spazio vuoto perché è indefinitamente piccolo (ovvero è infinitesimo).
In altri termini si può scrivere che non \({\exists }\delta >0:\left( -\delta ,\delta \right)\cap A=\left\{ 0 \right\}\) Cioè comunque piccolo lo scelgo d ci saranno sempre altri elementi di A oltre allo zero nell’intervallo (d,d). Questo esempio mostra che non è detto che un punto staccato dal resto dell’insieme è necessariamente isolato. Ogni insieme reale è composto in generale da punti (non necessariamente isolati) e intervalli. Se un punto isolato si unisce a un intervallo smette di essere isolato e entra a far parte dell’intervallo. Ad esempio \(A=\left( 1,2 \right)\cup \left\{ 2 \right\}=(1,2]\) .
Punti interni
Un punto è interno ad un insieme non se fa parte dell’insieme (come suggerirebbe il significato letterario del termine) ma se è possibile definire almeno un intorno del punto interamente contenuto nell’insieme. \({{x}_{0}}\in \overset{0}{\mathop{\mathbf{A}}}\,\,\,\,\Leftrightarrow \,\,\,\exists \delta >0:\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\subset A\) I punti interni possono essere descritti in poche parole come l’interno degli intervalli, estremi esclusi. Essi si trovano infatti necessariamente all’interno di intervalli. I punti isolati non possono essere punti interni perché non esiste nessun intervallo contenuto in un punto (semmai varrebbe il contrario visto che comunque piccolo lo si prende un intervallo esso conterrà comunque infiniti punti).
Ad esempio dato l’insieme \(A=[1,2)\cup \left\{ 3 \right\}\) ha come punti interni \(\overset{0}{\mathop{\mathbf{A}}}\,=\left( 1,2 \right)\)
Punti di frontiera
Un punto si dice di frontiera se comunque piccolo si prende un intorno del punto conterrà sia punti che appartengono all’insieme A che punti che non appartengono ad A. \({{x}_{0}}\in \partial A\,\,\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing ,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap {{A}^{c}}\ne \varnothing \) Un punto appartiene alla frontiera di A se comunque scelto un intorno del punto intersecato con l’insieme A e con il complementare dell’insieme A si ottiene comunque un insieme non vuoto.
quali sono i punti di frontiera?
In generale sono punti di frontiera: – Gli estremi degli intervalli (sia che essi siano inclusi, sia che essi siano esclusi dall’insieme) – I punti isolati – I punti dove tendono ad accumularsi infiniti punti di una successione Ad esempio: \(A=\left\{ x\in \mathbb{R}:\,\,x=\frac{1}{n},\,\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\) Ammette \({{x}_{0}}=0\) come punto di frontiera oltre all’insieme stesso (che è composto interamente da punti isolati), e quindi la frontiera di A è \(\partial A=A\cup \left\{ 0 \right\}\).
Insiemi chiusi
Un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) si dice chiuso se tutti i punti di accumulazione sono contenuti nell’insieme, ovvero \(accA\subseteq A\) Ad esempio \(A=(1,2]\) non è chiuso perché \(acc(A)=\left[ 1,2 \right]\not\subset A\) , l’insieme \(B=\left[ 1,2 \right]\) è chiuso perché \(acc(B)=\left[ 1,2 \right]\subseteq B\) e anche l’insieme \(C=\left[ 1,2 \right]\cup \left\{ 3,4 \right\}\) è chiuso infatti \(acc(C)=\left[ 1,2 \right]\subseteq C\) Non devono esistere punti di accumulazione che non appartengano all’insieme.
Insiemi aperti
Un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto si dice aperto se l’insieme è composto da soli punti interni. Se un insieme contiene intervalli di cui almeno un estremo è escluso oppure contiene punti isolati, non può o essere aperto. Ad esempio l’insieme\(A=\left( 1,2 \right)\cup \left( 3,+\infty \right)\)è un insieme aperto, mentre l’insieme \(B=(1,2]\cup \left( 3,+\infty \right)\)non è aperto e non lo è nemmeno \(C=\left( 1,2 \right)\cup \left( 3,+\infty \right)\cup \left\{ 0 \right\}\).
Punti di chiusura o aderenza
Dato un insieme \(A\subseteq \mathbb{R}\) non vuoto si dice che \({{x}_{0}}\) appartiene all’insieme dei punti di chiusura o aderenza di \(A\) se comunque preso un intorno che circonda il punto \({{x}_{0}}\) contiene punti di A \({{x}_{0}}\in \bar{A}\Leftrightarrow \forall \delta >0\,\,\left( {{x}_{0}}-\delta ,{{x}_{0}}+\delta \right)\cap A\ne \varnothing \) La chiusura di un insieme si ottiene aggiungendo ad un insieme ciò che manca per essere chiuso, cioè quei punti di accumulazione che non fanno parte dell’insieme \(\bar{A}=A\cup acc\left( A \right)\).
Nell’insieme dei numeri reali \(\mathbb{R}\) gli insiemi sono costituiti da valori numerici isolati e intervalli. I primi si rappresentano per elenco (ad esempio \(A=\left\{ 1,2,\sqrt{2} \right\}\) è un insieme che contiene 3 valori numerici) oppure per proprietà (ad esempio \(A=\left\{ x\in \mathbb{R}|\,\,x=\frac{2n}{2+n},\,\,n\in \mathbb{N} \right\}\) è l’insieme dei numeri reali \(x\) che possono essere scritti nella forma \(x=\frac{2n}{2+n}\), dove \(n\) è un qualunque numero naturale). Gli intervalli invece sono definiti come segue:
Intervalli chiusi
\(A=[2,3]\) è l’insieme di tutti i numerireali compresi (estremi inclusi) tra due e tre. E quindi anche 2 e 3 sono inclusi nell’intervallo.
Un altro modo di scriverlo è gli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(2\le x\le 3\), come è rappresentato nel grafico in baso sulla retta dei reali.
insiemi reali – intervalli chiusi
Intervalli aperti
\(A=(2,3)\) è l’insieme di tutti i numeri reali compresi (estremi esclusi) tra due e tre.
Cioè gli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(2<x<3\)
insiemi reali – intervalli aperti
Intervalli ne aperti né chiusi
\(A=(2,3]\) Cioè gli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(2<x\le 3\)
\(A=[2,3)\cup (5,7]\cup \{8,\,\,\,\,9.1\}\)? Cioè gli \(x\in \mathbb{R}\) tali che \(2\le x<3\,\,\cup \,\,5<x\le 7\)
insiemi reali – intervalli ne aperti ne chiusi
Intorni
Un intorno di un punto \({{x}_{0}}\in \mathbb{R}\) è un insieme composto da un unico intervallo che contiene il punto \({{x}_{0}}\) e può contenere o meno gli estremi.
Un possibile intorno di \({{x}_{0}}=2.3\) è l’insieme \(A=(2,3)\)? cioè un insieme composto da un unico intervallo in cui è contenuto\({{x}_{0}}\).
insiemi reali – intorni
Insieme complementare
Dato un insieme reale \(A\subseteq \mathbb{R}\) si definisce insieme complementaredi \(A\) e si indica con \({{A}^{c}}\) quell’insieme che si ottiene per sottrazione dell’insieme dei reali con l’insieme A
La cardinalità di un insieme finito A è detta anche numerosità o potenzao ordinedell’insieme e si indica con i simboli #A, con card(A) o ancora con |A|. Nel caso finito rappresenta un numero naturale definito come il numero di elementi contenuti nell’insieme.
La definizione può essere generalizzata al caso infinito, che naturalmente include così anche il caso finito attraverso un insieme di passi. Nel prossimo paragrafo vediamo quindi come definire la cardinalità di un insieme infinito e finito, attraverso una sequenza di passi.
Esempi di cardinalità di un insieme finito
Sia A={1,3,4,9} ovvero l’insieme dei numeri 1,3,4 e 9, vediamo che in questo insieme ci sono 4 elementi e quindi card(A)=4.
Sia B={a,b,r,f} cioè l’insieme formato dalle lettere a,b,r ed f. Anche B è costituito da 4 elementi e quindi la sua cardinalità è pari a card(B)=4
Notiamo a questo punto che A e B hanno la stessa cardinalità card(A)=card(B) e quindi possiamo affermare che i due insiemi hanno la stessa cardinalità. A e B si diconono equicardinali o anche equipotenti.
Definizione di cardinalità di un insieme infinito o finito
Nella teoria degli insiemi la cardinalità di un insieme qualunque può essere definita attraverso i seguenti passi:
Due insiemi A e B si dicono ”’equicardinali”’ o ”’equipotenti”’ o anche “equinumerosi” se fra i loro elementi si può stabilire una corrispondenza biunivoca, cioè sia iniettiva che suriettiva. In altre parole ciò accade se è possibile creare una relazione per cui ad ogni elemento di A è possibile associare uno ed un solo elemento di B, e viceversa.
Gli insiemi finiti equicardinali costituiscono le classi di equicardinalità e all’interno di queste classi ci sono tutti quegli insiemi che godono di una relazione di equivalenza. In altre parole nella classe degli insiemi di n elementi ci sono tutti quegli insiemi finiti che contengono esattamente n elementi.
Prima di entrare nel vivo della materia è bene fare una presentazione degli insiemi di numeri su cui si opera e a partire dai quali si costruisce tutta l’analisi matematica. Ecco l’elenco dei principali insiemi numerici:
\(\mathbb{N}=\{0,1,2,3,…\}\) denota l’insieme dei numeri naturali.
\(\mathbb{Z}=\{..,-3,-2,-1,0,1,2,3,..\}\)è l’insieme dei numeri relativi
\(\mathbb{Q}=\{\pm \frac{m}{n},\,\,con\,\,m\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N}\}\)è l’insieme dei numeri razionali
\(\mathbb{R}\) è l’insieme dei numeri reali. Due sottoinsiemi di esso sono: \({{\mathbb{R}}^{+}}\)insieme dei numeri reali positivi escluso lo zero e \(\mathbb{R}_{0}^{+}\) che include lo zero.
\(\mathbb{C}=\left\{ z=x+i\,y;\,\,\,\,x,y\in \mathbb{R} \right\}\,\,\)è l’insieme dei numeri complessi. Questo insieme è un estensione dei numeri reali e si costruisce a partire da essi introducendo l’unità immaginaria \(i=\sqrt{-1}\) e che vedremo nel dettaglio più avanti.
Si osserva che tra gli insiemi numerici vale la seguente relazione: \(\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}\).
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Relazione tra insiemi numerici
I numeri naturali sono tutti i relativi con il segno positivo. I numeri relativi possono essere visti come numeri razionali ponendo \(n=1\) al denominatore oppure come frazioni dove il numeratore è multiplo del denominatore. Una riflessione va fatta per quanto riguarda la relazione tra numeri razionali e reali.
Qualsiasi numero con un numero finito di cifre dopo la virgola può essere scritto come frazione, ovvero come numero razionale. Poniamoci a questo punto una domanda: tutti i numeri possono essere scritti come numeri razionali?
Per rispondere a questa domanda basta trovare un controesempio, cioè un numero che non può essere scritto come frazione. L’esempio in questione è il numero \(\sqrt{2}\), e a questo punto andiamo a dimostrarlo per assurdo.
Come prima cosa bisogna negare la tesi, quindi per assurdo assumiamo che \(\sqrt{2}\)può essere scritto come il rapporto tra due numeri primi tra loro (se non lo fossero basterebbe semplificare).
Altri insiemi numerici
Abbiamo l’insieme dei numeri reali e positivi \({{\mathbb{R}}^{+}}\) , quello dei numeri reali e positivi incluso lo zero \(\mathbb{R}_{0}^{+}\). Inoltre esiste l’insieme dei numeri relativi e positivi incluso lo zero che coincide con l’insieme dei numeri naturali \(\mathbb{Z}_{0}^{+}=\mathbb{N}\) .
L’insieme dei numeri reali e negativi \({{\mathbb{R}}^{-}}\) . Insomma basta aggiungere un + in alto per indicare che sono solo i positivi, un – in alto per indicare che sono soltanto i negativi, uno zero in basso per indicare che è incluso anche lo zero.
Ad esempio l’insieme \({{\mathbb{Q}}^{+}}\) sono i numeri razionali e positivi e si ha \({{\mathbb{Q}}^{+}}=\left\{ x=\frac{m}{n},\,\,m,n\in \mathbb{N} \right\}\)
In matematica un insieme è un raggruppamento di elementi non necessariamente numerici.
Gli insiemi possono essere costruiti per elenco, rappresentando tra parentesi graffe tutti gli elementi che lo compongono separati da una virgola, oppure per proprietà, a patto che sia possibile poi identificare in maniera univoca tali elementi.
Un esempio di raggruppamento che non costituisce un insieme matematico è l’insieme dei film Horror che piacciono di più, perché non esiste un criterio univoco che identifica esattamente gli elementi di tale insieme.
Diversamente l’insieme di tutti i numeri naturali maggiori di 4 è un insieme che possiamo rappresentare per elenco come {5,6,7,8,9,10,…} oppure per proprietà come \(\left{ \xin\ mathbb{N}:,,x>4 \right}\)
Simboli usati per gli insiemi
In matematica in genere si utilizzano le lettere maiuscole A,B,C,.. per rappresentare gli insiemi mentre le lettere minuscole per rappresentare gli elementi in essi contenuti.
Ad esempio per indicare un elemento che appartiene all’insieme A scriveremo che (ain A), mentre per indicare che non vi appartiene scriveremo che (anotin A).
Diremo che un insieme A è contenuto in un insieme B se tutti gli elementi dell’insieme A sono contenuti in B.
Distinguiamo il simbolo di strettamente contenuto (Asubset B) che si utilizza quando l’insieme B ha almeno un elemento in più rispetto ad A, oltre a tutti gli elementi di A.
Si usa il simbolo di contenuto in senso lato, che si legge contenuto o uguale, e in simboli si scrive (Asubseteq B), quando gli insiemi possono anche essere uguali, ovvero contenere esattamente gli stessi elementi.
A volte si utilizza per ragioni di comodità una simbologia diversa, ad esempio (Asupset B) si legge che B è contenuto in A. Oppure (Asupseteq B)e si legge B contenuto o uguale ad A.
Insiemi finiti e infinti
Un insieme si dice finito se contiene un numero finito di elementi.
Un insieme si dice infinito se contiene un numero illimitato di elementi.
Gli insiemi numerici dei numeri naturali, relativi, razionali, irrazionali, reali e complessi sono tutti insiemi infiniti.
L’insieme dei numeri naturali compresi tra 5 e 7 è ad esempio un insieme finito.
In formule (left{ xin mathbb{N}:,,5le xle 7 right}) è un insieme finito di elementi, ovvero è un insieme che contiene esattamente 3 elementi
L’insieme (left{ xin mathbb{R}:,,5le xle 7 right}) è invece un insieme infinito di elementi visto che ci sono infiniti numeri reali compresi tra 5 e 7
Un insieme si dice numerabile se è possibile creare una relazione tra i numeri naturali e gli elementi dell’insieme stesso, ovvero se è possibile numerare gli elementi di tale insieme. Un insieme finito è senz’altro numerabile, mentre un insieme infinito è numerabile se è possibile stabilire una logica per cui l’n-esimo elemento dell’insieme è dato univocamente da un certo elemento.
Gli insiemi \(\mathbb{N}\), \(\mathbb{Z}\) e \(\mathbb{Q}\) sono numerabili, mentre l’insieme \(\mathbb{R}\) non è numerabile. Vediamo un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri relativi:
1
2
3
4
5
6
…
0
-1
1
-2
2
3
…
Vediamo invece un esempio di come è possibile numerare l’insieme dei numeri razionali \(\mathbb{Q}\) :
La disequazione di Bernoulli sarà utilizzata successivamente nella dimostrazione dell’esistenza del limite di Nepero ed è un esempio di proprietà che può essere dimostrata con il principio di induzione.
Enunciato: \(\forall x>-1,\,\forall n\in \mathbb{N}\) si ha che \({{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx\)
E andiamo a vedere la dimostrazione disequazione di Bernoulli per induzione:
Dimostrazione per induzione
Dimostriamo che la proprietà è vera per \({{n}_{0}}=0\). Allora si ha che \({{\left( 1+x \right)}^{0}}\ge 1+0\cdot x\,\,\,\Rightarrow \,\,\,\,1\ge 1\)ed è vero!
Poi passiamo a dimostrare il passo induttivo. Supponiamo vero\({{P}_{n}}:\,\,\,{{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge 1+nx\) , vediamo se facendo operazioni matematiche regolari si arriva a \({{P}_{n+1}}\) , e se ci riusciamo allora abbiamo dimostrato che la proprietà è vera.
Moltiplichiamo per \(\left( 1+x \right)\) entrambi i membri della disequazione e si ottiene \(\left( 1+x \right){{\left( 1+x \right)}^{n}}\ge \left( 1+x \right)\left( 1+nx \right)\). Osserviamo che il verso della disequazione non cambia essendo \(1+x>0\) vista l’ipotesi che \(x>-1\).
Riscritta meglio diventa \({{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+x+nx+n{{x}^{2}}\).
A questo punto possiamo osservare che \(n{{x}^{2}}\ge 0\) essendo il prodotto tra numeri positivi.
Allora \(1+x+nx+n{{x}^{2}}\ge 1+x+nx\) e quindi si ottiene \({{\left( 1+x \right)}^{n+1}}\ge 1+\left( 1+n \right)x\) raccogliendo una \(x\), e quest’ultima espressione corrisponde proprio a \({{P}_{n+1}}\) e quindi abbiamo dimostrato il passo induttivo.
Per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette soluzione solo se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta. Prima di applicarlo però posso applicare il primo passo dell’algoritmo di Gauss, infatti esso non modifica il rango delle matrici in questione, ma semplicemente permette di velocizzare i calcoli sulle matrici.
La matrice A è invece la matrice incompleta (4×3) e il suo rango è \(rk(A)\le 3\).
Infatti ricordiamo che il rango massimo di una matrice è pari al minimo tra righe e colonne.
La matrice C è una matrice quadrata e quindi l’unico minore di ordine 4 è dato dalla matrice stessa. Pertanto si ha che \(rk(C)=4\) se e solo se \(\det (C)\ne 0\).
Poiché \(rk(A)\le 3\), se \(rk(C)=4\), allora \(rk(A)\ne rk(C)\)e per il teorema di Rouchè-Capelli, sotto queste ipotesi il sistema non ammette soluzione.
A questo punto dalla regola di Sarrus ottengo che il determinante di C è un polinomio di secondo grado
\(\det C=2{{k}^{2}}+3k-2=0\)
Esso si annulla se \(k=\frac{1}{2}\) e \(k=-2\)
Quindi possiamo già dire che il sistema sicuramente non ammette soluzione se \(k\ne \frac{1}{2}\) e \(k\ne -2\) . Per gli altri casi invece non possiamo dire nulla e li studiamo a parte.
Iniziamo da \(k=\frac{1}{2}\) e sostituiamolo nella matrice.
Sappiamo che in questo caso\(rk(C)<4\) e andiamo a verificare se il rango della matrice completa e incompleta risultano in questo caso entrambi pari a 3. Per fare ciò prendiamo un minore di ordine 3 comune sia alla matrice incompleta che a quella completa e calcoliamone il determinante.
Abbiamo trovato un minore di ordine 3 comune alla matrice A ed alla matrice C con determinante non nullo. Possiamo pertanto concludere che per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione ed andiamo a trovarla proseguendo con l’algoritmo di Gauss.
Sappiamo che in questo caso\(rk(C)<4\) e andiamo a verificare se il rango della matrice completa e incompleta risultano in questo caso entrambi pari a 3. Per fare ciò prendiamo un minore di ordine 3 comune sia alla matrice incompleta che a quella completa e calcoliamone il determinante.
Abbiamo trovato un minore di ordine 3 comune alla matrice A ed alla matrice C con determinante non nullo. Possiamo pertanto concludere che per il teorema di Rouchè-Capelli, il sistema ammette soluzione ed andiamo a trovarla proseguendo con l’algoritmo di Gauss.
